《22.2 降次-解一元二次方程》2009年同步练习（2）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下列各式不是完全平方式的是（ ）
A．x²-16x+64
B．x²-2x+1
C．3x²-2x+1
D．4a²-12ab-9b²

2. 难度：中等

下列方程的解不正确的是（ ）
A．方程x²=1的根为x₁=1，x₂=-1
B．方程x²=0的根为x₁=x₂=0
C．方程（x-2）²=4的根为x₁=4，x₂=-4
D．方程3x²-6=0的根为x₁=，x₂=-

3. 难度：中等

一元二次方程x²-1=0的根为（ ）
A．x=1
B．x=-1
C．x₁=1，x₂=-1
D．x=2

4. 难度：中等

方程4（2x-3）²=25的根是（ ）
A．±
B．
C．
D．或

5. 难度：中等

形如（x+m）²=n（n≥0）的方程，它的根是（ ）
A．x=±
B．x=±m+
C．x=±
D．x=-m±

6. 难度：中等

若方程ax²+bx+c=0（a≠0）满足a+b+c=0，则方程必有一根为（ ）
A．0
B．1
C．-1
D．±1

7. 难度：中等

方程（h+1）²=（3-2h）²的根是（ ）
A．
B．4
C．或4
D．无解

8. 难度：中等

若方程25x²-（k-1）x+1=0的左边可以写成一个完全平方式；则k的值为（ ）
A．-9或11
B．-7或8
C．-8或9
D．-6或7

9. 难度：中等

用配方法解一元二次方程x²-6x-7=0，则方程变形为（ ）
A．（x-6）²=43
B．（x+6）²=43
C．（x-3）²=16
D．（x+3）²=16

10. 难度：中等

要使方程x²-x=左边能成完全平方式应该在方程的两边都加上（ ）
A．（-）²
B．（-）²
C．（）²
D．（）²

11. 难度：中等

方程2（x-1）²=的根为（ ）
A．x₁=1+，x₂=1-
B．x₁=+1，x₂=-1
C．x₁=-1，x₂=+1
D．以上都不对

12. 难度：中等

要用配方法解一元二次方程x²-4x-3=0，那么下列变形的结果中正确的是（ ）
A．x²-4x+4=9
B．x²-4x+4=7
C．x²-4x+16=19
D．x²-4x+2=5

13. 难度：中等

将方程2x²-4x+1=0化成（x+m）²=n的形式的是（ ）
A．（x-1）²=
B．（2x-1）²=
C．（x-1）²=0
D．（x-2）²=3

14. 难度：中等

下列一元二次方程中，无实数根的方程是（ ）
A．x²=0
B．（x-3）²-1=0
C．（x+3）²+1=0
D．（2x-1）²=0

15. 难度：中等

若x²-mx+4是一个完全平方式，则m的值为（ ）
A．4
B．-4
C．±4
D．以上答案都不对

16. 难度：中等

小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代数式x²-4x+5的值的情况．他们作了如下分工：小明负责找值为1时x的值，小亮负责找值为0时x的值，小梅负责找最小值，小花负责找最大值．几分钟后，各自通报探究的结论，其中错误的是（ ）
A．小明认为只有当x=2时，x²-4x+5的值为1
B．小亮认为找不到实数x，使x²-4x+5的值为0
C．小梅发现x²-4x+5的值随x的变化而变化，因此认为没有最小值
D．小花发现当x取大于2的实数时，x²-4x+5的值随x的增大而增大，因此认为没有最大值

17. 难度：中等

用公式法解方程x²-3x-1=0正确的解为（ ）
A．x_1，2=
B．x_1，2=
C．x_1，2=
D．x_1，2=

18. 难度：中等

下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ）
A．x²+4=0
B．x²-4x+6=0
C．x²+x+3=0
D．x²+2x-1=0

19. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²-x-k²=0根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．无实数根
D．无法判断

20. 难度：中等

关于x的一元二次方程kx²+2x-1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A．k＞-1
B．k＞1
C．k≠0
D．k＞-1且k≠0

21. 难度：中等

用公式法解方程（x+2）²=6（x+2）-4时，b²-4ac的值为（ ）
A．52
B．32
C．20
D．-12

22. 难度：中等

方程x²+2x-3=0的根的情况是（ ）
A．有两个相等的实数根
B．有两个不相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有无实数根

23. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-2x+α=0有实根，则实数α的取值范围是（ ）
A．α≤1
B．α＜1
C．α≤-1
D．α≥1

24. 难度：中等

在下列方程中，有实数根的是（ ）
A．x²+3x+1=0
B．
C．x²+2x+3=0
D．

25. 难度：中等

设a、b、c为三角形的三边长，则关于x的方程a、b、c为三角形的三边长b²x²+（b²+c²-a²）x+c²=0的根的情况是（ ）
A．无实数根
B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根
D．无法确定

26. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²-x-3=0的两个根，那么x₁²+x₂²的值是（ ）
A．1
B．5
C．7
D．

27. 难度：中等

已知x₁，x₂是方程x²+3x=4的两根，则（ ）
A．x₁+x₂=-3，x₁•x₂=-4
B．x₁+x₂=3，x₁•x₂=4
C．x₁+x₂=-3，x₁•x₂=4
D．x₁+x₂=3，x₁•x₂=-4

28. 难度：中等

已知关于x的一元二次方程x²-mx+2m-1=0的两个实数根的平方和为7，那么m的值是（ ）
A．5
B．-1
C．5或-1
D．-5或1

29. 难度：中等

下列说法中正确的是（ ）
A．方程x²+2x-7=0的两实数根之和是2
B．方程2x²-3x-5=0的两实数根之积为
C．方程x²-2x-7=0的两实数根的平方和为-18
D．方程2x²+3x-5=0的两实数根的倒数和为

30. 难度：中等

若ab≠1，且有5a²+2002a+9=0及9b²+2002b+5=0，则的值是（ ）
A．
B．
C．-
D．-

31. 难度：中等

已知p、q是两个实数，如果pq=0，那么下列说法正确的是（ ）
A．p=0
B．q=0
C．p、q中至少有一个0
D．p=0且q=0

32. 难度：中等

方程x（x+3）=（x+3）的根为（ ）
A．x₁=0，x₂=3
B．x₁=1，x₂=-3
C．x=0
D．x=-3

33. 难度：中等

用因式分解法解方程x²-px-6=0，将左边分解后有一个因式是x+3，则p的值是（ ）
A．5
B．-5
C．-1
D．1

34. 难度：中等

用换元法解方程x²-2x+=8，若设x²-2x=y，则原方程化为关于y的整式方程是（ ）
A．y²+8y-7=0
B．y²-8y-7=0
C．y²+8y+7=0
D．y²-8y+7=0

35. 难度：中等

三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程x²-16x+60=0的一个实数根，则该三角形的面积是
（ ）
A．24
B．24或8
C．48
D．8

36. 难度：中等

方程（x+2）²=3（2+x）最适合的解法是（ ）
A．直接开平方
B．提公因式因式分解法
C．公式法
D．配方法

37. 难度：中等

下列方程没有公因式的是（ ）
A．6m²=m
B．x²=x+
C．（x-1）²=
D．2x²-6x=0

38. 难度：中等

下列方程能用因式分解法解有（ ）
①x²=x    ②x²-x+=0     ③2x-x²-3=0     ④（3x+2）²=16
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

39. 难度：中等

方程25x²=10x-1的解是（ ）
A．x=±
B．x=
C．x₁=x₂=
D．x=

二、填空题

40. 难度：中等

方程4x²-4x+1=0的解x₁=x₂=    ．

41. 难度：中等

若（mx）²+6x+9是完全平方式，则m为    ．

42. 难度：中等

若方程（x-m）²=b有解，那么b的取值范围是    ．

43. 难度：中等

方程（x-1）²=4的解为    ．

44. 难度：中等

将方程x²-10x+16=0化为（mx+n）²=p（p≥0）的形式为    ．

45. 难度：中等

若x²+8x+m=（x+n）²，则m=    ，n=    ．

46. 难度：中等

用配方法解方程：x²+5x=-4，方程两边都应为加上的数是    ．

47. 难度：中等

若a²+b²-2ab+|b-1|=0，则a=    ，b=    ．

48. 难度：中等

方程3x²-5x+1=0的解为    ．

49. 难度：中等

已知x是一元二次方程x²+3x-1=0的实数根，那么代数式的值为    ．

50. 难度：中等

64的平方根是    ，的平方根是    ．

51. 难度：中等

方程x²-9=0的解是    ．

52. 难度：中等

（1）x²-x+m是完全平方式，则m=    ．
（2）x²+5x+n是完全平方式，则n=    ．

53. 难度：中等

一元二次方程x²-2x-1=0，b²-4ac=    ．

54. 难度：中等

若方程2x²-mx+3=0有两个相等的实数根，则m=    ．

55. 难度：中等

（易错题）若关于x的一元二次方程（k-1）x²+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是    ．

56. 难度：中等

方程2x²-x-5=0中，b²-4ac=    ．

57. 难度：中等

解方程：x²-x-1=0，x=    ．

58. 难度：中等

若关于x的一元二次方程x²-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是    ．

59. 难度：中等

已知一元二次方程2x²-3x-1=0的两根为x₁、x₂，则x₁+x₂=    ．

60. 难度：中等

设x₁，x₂是方程x²-4x+2=0的两实数根，则x₁+x₂=    ，x₁•x₂=    ．

61. 难度：中等

关于x的一元二次方程x²+bx+c=0的两根为x₁=1，x₂=2，则x²+bx+c分解因式的结果为    ．

62. 难度：中等

如果一个矩形的长和宽是一元二次方程x²-10x+20=0的两个根，那么这个矩形的周长是    ．

63. 难度：中等

方程x²-2x=0的解为    ．

64. 难度：中等

方程x²-5x=6的解为    ．

65. 难度：中等

已知y=x²-2x-3，当x=    时y=5；当x=    时，y=0．

66. 难度：中等

当x=    时，代数式3x²+2x+2与4x²-3x+8的值相等．

67. 难度：中等

方程x²=|x|的根是    ．

68. 难度：中等

方程8x²-3x=0的解x₁=    ，x₂=    ．

69. 难度：中等

方程x²=4x的解为x₁=    ，x₂=    ．

70. 难度：中等

（过程探究题）解方程：2x（x+3）=（x+3）²
【解析】
2x（x+3）=（x+3）²．
移项，得2x（x+3）-（x+3）²=0．
提公因式得（x+3）[2x-（x+3）]=0．
所以x+3=0或2x-（x+3）=0．
即x₁=    ，x₂=    ．

71. 难度：中等

解方程：（x-1）²=（3+2x）²
【解析】
（x-1）²=（3+2x）²
移项，得（x-1）²-（3+2x）²=0，
所以[（x-1）+（3+2x）][（x-1）-（3+2x）]=0，
则x-1+3+2x=0，x-1-（3+2x）=0．
解得x₁=    ，x₂=    ．
感悟：运用平方差a代表什么式子，b代表什么式子？你认准了吗？这里a=x-1，b=3+2x．

72. 难度：中等

解方程：9x²-6x+1=0，
【解析】
9x²-6x+1=0，
所以（3x-1）²=0，
即3x-1=0，
解得x₁=x₂=    ．

三、解答题

73. 难度：中等

解方程：3x²+6x+3=12

74. 难度：中等

运用直接开平方法解下列方程：
（1）16x²-8x+1=2；
（2）（2y-1）²=（3y+4）²

75. 难度：中等

（探究题）如图所示，正方形ABCD的面积为48cm²，正方形EFGH与正方形ABCD有同一个中心，且BC∥EF，若阴影面积是正方形ABCD面积的一半，求四边形EFGH的边长x为多少厘米？

76. 难度：中等

用配方法解下列方程
（1）x²-4x-2=0
（2）x（x+4）=6x+12
（3）2x²+7x-4=0
（4）3（x-1）（x+2）=x+4
（5）3x²-6x=8

77. 难度：中等

阅读材料后再解答问题
阿拉伯数学家阿尔•花拉子利用正方形图形巧妙解出了一元二次方程x²+2x-35=0的一个解．
[阿尔．花拉子解法]将边长为xm的正方形和边长为1的正方形，外加两个长方形，长为x，宽为1，拼合在一起面积就是x²+2•x•1+1•1，而由x²+2x-35=0变形及x²+2x+1=35+1（如图所示）
即左边边长为x+1的正方形面积为36．
所以（x+1）²=36，则x=5．
你能运用上述方法构造出符合方程x²+8x-9=0的一个正根的正方形吗？试一试吧!

78. 难度：中等

用配方法解下列方程：（1）x²-6x+7=0；（2）2x²+6=7x；（3）-5x²+10x+15=0．

79. 难度：中等

已知x²y²+x²+4xy+13=6x，求x、y的值．

80. 难度：中等

用配方法证明：-4x²+8x-6的值恒小于0，并求它的最大值，由此你能否写出三个恒大于0的二次三项式？

81. 难度：中等

用公式法解下列方程：
（1）3x²=2-5x；
（2）y²-4y=1；
（3）（x+1）（x-1）=2x．

82. 难度：中等

（实践应用题）如图所示，某农户发展家庭养禽业，他计划用现有的34m长的篱笆和墙（墙长25m）围成面积为一个120m²的矩形养鸡场．求这个养鸡场长和宽各应是多少？

83. 难度：中等

不解方程，判别下列方程根的情况．
（1）2x²-x=0
（2）x（2x-4）=5-8x

84. 难度：中等

（经典题）若方程kx²-（2k+1）x+k=0有实数根，求k的值，并求出方程的解（用含k的式子表示）

85. 难度：中等

（探究题）如表：方程1，方程2，方程3…是按照一定规律排列的一列方程：
（1）解方程3，并将它的解填在表中的空白处

序号	方程	方程的解
1	x^2+x-2=0	x1=-2	x2=1
2	x^2+2x-8=0	x1=-4	x2=2
3	x^2+3x-18=0	x1=__	x2=__
…	…	…	…

（2）请写出这列方程中第10个方程，并用求根公式求其解．

86. 难度：中等

用公式法解方程：（1）x²=3x+1；（2）（t+1）（t-3）=-t（3-3t）．

87. 难度：中等

m为何值时，关于x的一元二次方程（m+1）x²-（2m-3）x=-m-1：
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根．

88. 难度：中等

先阅读，再填空解题：
①方程x²-x-6=0的根是x₁=3，x₂=-2，则x₁+x₂=1，x₁x₂=-6；
②方程2x²-7x+3=0的根是x₁=，x₂=3，则x₁+x₂=，x₁x₂=．
根据以上①②你能否猜出：
如果关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，且a、b、c为常数，b²-4ac≥0）有两根x₁、x₂，那么x₁+x₂、x₁x₂与系数a、b、c有什么关系？请写出你的猜想并说明理由．
利用公式法求出方程的根即可．

89. 难度：中等

解下列方程：
（1）x²-3x+2=0；
（2）3（x-2）²=x（x-2）．

90. 难度：中等

已知直角三角形两边x，y的长满足+|y²-5y+6|=0，求第三边的长．

91. 难度：中等

如果方程ax²-bx-6=0与方程ax²+2bx-15=0有一个公共根是3，求a、b的值，并分别求两个方程的另外一个根．

92. 难度：中等

用因式分解法解下列方程：
（1）4x²-144x=0
（2）2（5x-1）²=3（1-5x）
（3）2x+6=（3+x）²
（4）（x-2）²-2x+4=0

93. 难度：中等

聪明的小华运用因式分解中的提公因式法把关于x的一元二次方程x²-15xy+50y²=0的两个根求出来了，你知道他是怎样进行因式分解的吗（y为已知字母）．

94. 难度：中等

运用平方差，完全平方公式解方程：
（1）16（x-1）²=225
（2）4x²-4x+1=x²-6x+9
（3）9（x+1）²=4（x-1）²
（4）x²-4x+4=（3-2x）²

95. 难度：中等

阅读后解答问题．
解方程：2x²-3x-2=0
【解析】
2x²-3x-2=0，
拆项，分组得2x²-4x+x-2=0，
提公因式，得2x（x-2）+（x-2）=0，
再提公因式，得（x-2）（2x+1）=0，
所以x-2=0或2x+1=0．
即x₁=2，x₂=-．
运用以上因式分解法解方程6x²+7x-3=0．

96. 难度：中等

用适当方法解下列方程：
（1）（x-2）²+（x+2）²=4x-6
（2）4（x+2）（x-3）=（x-3）²

97. 难度：中等

若方程x²-6x-k-1=0与x²-kx-7=0仅有一个公共的实数根，试求k的值和相同的根．

98. 难度：中等

如图所示，△P₁OA₁，△P₂A₁A₂是等腰直角三角形，点P₁，P₂在已知y=（x＞0）的图象上，斜边OA₁，A₁A₂都在x轴上，若A₂（4，0），求反比例函数解析式．