已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(Ⅰ) 若,求直线l的方程. (Ⅱ) 求|AB|的最小值. 已知点P(3,4)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,F1、F2是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求:
(1)椭圆方程; (2)△PF1F2的面积. 给定两个命题,命题p:对任意实数x都有ax2+ax+1>0恒成立,命题q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根,如果p∨q为真命题,p∧q为假命题,求实数a的取值范围.
已知c>0,设P:函数y=cx在R上单调递减,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集为R.如果P和Q有且仅有一个正确,求c的取值范围.
求下列各曲线的标准方程
(1)实轴长为12,离心率为,焦点在x轴上的椭圆; (2)焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点的抛物线. 在下列四个结论中,正确的有 .(填序号)
①若A是B的必要不充分条件,则非B也是非A的必要不充分条件 ②“”是“一元二次不等式ax2+bx+c≥0的解集为R”的充要条件 ③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件 ④“x≠0”是“x+|x|>0”的必要不充分条件 过抛物线y2=4x的焦点,作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点,O为坐标原点,则△POQ的面积为 .
若直线x-y=2与抛物线y2=4x交于A、B两点,则线段AB的中点坐标是 .
若曲线表示椭圆,则k的取值范围是 .
曲线y=x3在点(1,1)切线方程为 .
设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2,过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若△F1PF2为等腰直角三角形,则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D. 已知动点P(x、y)满足10=|3x+4y+2|,则动点P的轨迹是( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.无法确定 双曲线的渐近线方程是( )
A.y= B.y= C.y= D.y= 若函数y=f(x)在区间(a,b)内可导,且x∈(a,b)则的值为( )
A.f′(x) B.2f′(x) C.-2f′(x) D.0 经过抛物线y=2x2的焦点,且倾斜角为135°的直线方程为( )
A.2x+2y-1=0 B.4x+4y-1=0 C.8x+8y-1=0 D.16x+16y-1=0 双曲线的焦距为( )
A.3 B.4 C.3 D.4 下列四个结论:
①若P:2是偶数,q:3不是质数,那么p∧q是真命题; ②若P:π是无理数,q:π是有理数,那么p∨q是真命题; ③若P:2>3,q:8+7=15,那么p∨q是真命题; ④若P:每个二次函数的图象都与x轴相交,那么¬P是真命题; 其中正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 命题“对任意的x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是( )
A.不存在x∈R,x3-x2+1≤0 B.存在x∈R,x3-x2+1≤0 C.存在x∈R,x3-x2+1>0 D.对任意的x∈R,x3-x2+1>0 在下列电路图中,表示开关A闭合是灯泡B亮的必要但不充分条件的线路图是( )
A. B. C. D. “mn<0”是“方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的双曲线”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 一块边长为10的正方形纸片,按如图所示将阴影部分裁下,然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD(底面是正方形,顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥).
(1)过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面(如图),设截面三角形面积为y,求y的最大值及y取最大值时的x的值; (2)空间一动点P满足(a+b+c=1),在第(1)问的条件下,求的最小值,并求取得最小值时a,b,c的值; (3)在第(1)问的条件下,设F是CD的中点,问是否存在这样的动点Q,它在此棱锥的表面(包含底面ABCD)运动,且FQ⊥AC?如果存在,计算其运动轨迹的长度,如果不存在,说明理由. 随着环保理念的深入,用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行.下图是其中一个抽象派雕塑的设计图.图中α表示水平地面,线段AB表示的钢管固定在α上;为了美感,需在焊接时保证:线段AC表示的钢管垂直于α,BD⊥AB,且保持BD与AC异面.
(1)若收集到的余料长度如下:AC=BD=24(单位长度),AB=7,CD=25,按现在手中的材料,求BD与α应成的角; (2)设计师想在AB,CD中点M,N处再焊接一根连接管,然后挂一个与AC,BD同时平 行的平面板装饰物.但他担心此设计不一定能实现.请你替他打消疑虑:无论AB,CD多长,焊接角度怎样,一定存在一个过MN的平面与AC,BD同时平行(即证明向量与,共面,写出证明过程); (3)如果事先能收集确定的材料只有AC=BD=24,请替设计师打消另一个疑虑:即MN要准备多长不用视AB,CD长度而定,只与θ有关(θ为设计的BD与α所成的角),写出MN与θ的关系式,并帮他算出无论如何设计MN都一定够用的长度. 点O是边长为4的正方形ABCD的中心,点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
(1)求∠EOF的大小; (2)求二面角E-OF-A的余弦值. 如图,AB是⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点.
(1)证明:△PBC是直角三角形; (2)若PA=AB=2,且当直线PC与平面ABC所成角正切值为时,直线AB与平面PBC所成角的正弦值. 两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB,M∈AC,N∈FB,且AM=FN.
(1)证明:MN∥平面BCE; (2)当AM=FN= 时,求MN的长度. 长方体ABCD-A1B1C1D1,其左视图沿AB方向投影,左视图如图.
(1)证明:AC1⊥B1C; (2)当AC1长为时,求多面体B1-ABC1D1的体积. 关于图中的正方体ABCD-A1B1C1D1,下列说法正确的有: .
①P点在线段BD上运动,棱锥P-AB1D1体积不变; ②一个平面α截此正方体,如果截面是三角形,则必为锐角三角形; ③一个平面α截此正方体,如果截面是四边形,则此四边形必有一边平行; ④平面α截正方体得到一个六边形(如图),则截面α在平面AB1D1与平面BDC1间平行移动时此六边形周长先增大,后减小. 球放在墙角(两墙面,地面分别两两垂直),紧靠墙面和底面,墙角顶点到球面上的点的最远距离是,则球的体积是 .(半径为R的球体积公式:)
如图,平面直角坐标系中,A(,2),B(-,-),将其所在纸面沿x轴折成直二面角,则折起后的A,B两点的距离是 .
由空间向量基本定理可知,空间任意向量可由三个不共面的向量唯一确定地表示为,则称(x,y,z)为基底下的广义坐标.特别地,当为单位正交基底时,(x,y,z)为直角坐标.设分别为直角坐标中x,y,z正方向上的单位向量,则空间直角坐标(1,2,3)在基底下的广义坐标为 .
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