两个边长均为3的正方形ABCD和ABEF所在平面垂直相交于AB，M∈AC，N∈F...

（1）证法一：（线面平行的判定定理法）作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ，先证出Rt△MCP≌Rt△NBQ，进而得到四边形MPQN为平行四边形．则MN∥PQ，再由线面平行的判定定理得到答案． 证法二：（面面平行的性质法）过M作MH⊥AB于H，连接NH，由面面平行的判定定理证明出平面MNH∥平面BCE，进而由面面平行的性质得到MN∥平面BCE； （2）当AM=FN=时，根据（1）中比例关系，我们可又求出MH，NH的长，解Rt△MNH可得答案． 证明：（1）证法一：（线面平行的判定定理法） 如图一，作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，连接PQ， 则MP∥AB，NQ∥AB． 所以MP∥NQ， 又AM=NF，AC=BF， 所以MC=NB． 又∠MCP=∠NBQ=45°， 所以Rt△MCP≌Rt△NBQ， 所以MP=NQ． 故四边形MPQN为平行四边形． 所以MN∥PQ．…..（4分） 因为PQ∥平面BCE，MN∥平面BCE， 所以MN∥平面BCE…..（6分） 法二：如图二，过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC． 所以=． 连接NH，由BF=AC，FN=AM，得=， 所以NH∥AF∥BE．…..（2分） 又∵NH∩BH=H，BC∩BE=B，NH，BH⊂平面MNH，BC，BE⊂平面BCE ∴平面MNH∥平面BCE…..（4分） 因为MN⊂平面MNH， 所以MN∥平面BCE．…..（6分） （2）如图二，∵AM=FN= 由比例关系易得： ∵====， ∴在Rt△ABC中，MH=1， 在Rt△ABF中，NH=2， ∴在Rt△MNH中，MN=．…..（12分）