一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰...

一块边长为10的正方形纸片，按如图所示将阴影部分裁下，然后将余下的四个全等的等腰三角形作为侧面制作一个正四棱锥S-ABCD（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面中心的四棱锥）．
（1）过此棱锥的高以及一底边中点F作棱锥的截面（如图），设截面三角形面积为y，求y的最大值及y取最大值时的x的值；
（2）空间一动点P满足 manfen5.com 满分网

（a+b+c=1），在第（1）问的条件下，求 manfen5.com 满分网

的最小值，并求取得最小值时a，b，c的值；
（3）在第（1）问的条件下，设F是CD的中点，问是否存在这样的动点Q，它在此棱锥的表面（包含底面ABCD）运动，且FQ⊥AC？如果存在，计算其运动轨迹的长度，如果不存在，说明理由．

（1）在直角三角形中根据两条边长利用勾股定理做出四棱锥的高，即可求得截面三角形面积的函数表达式；（2）先证明P，A，B，C共面，即P∈平面ABC，从而的最小值即是S到平面ABC的距离SO；（3）取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，证明AC⊥平面GFT即可得到结论，从而可求轨迹的长度．【解析】（1）由题意，y=EF•SO==（0＜x＜10）…．（2分） ∴y==≤=．当且仅当x2=100-x2，即x=5时取得最大值．…..（4分）（2）由（a+b+c=1），得， ∴=， ∴a=-b-c， ∴共面， ∴P，A，B，C共面，即P∈平面ABC． ∴的最小值即是S到平面ABC的距离SO，在上问条件下，SO==…（7分）此时=，即a=，b=0，c=…（9分）（3）存在这样的点的轨迹，下面证明：取BC的中点G，SC中点T，连接FG，GT，TF，FG∩AC=H，则GF∥BD，TH∥SO ∵SO⊥AC，BD⊥AC ∴AC⊥GF，AC⊥TH ∵GF∩TH=H ∴AC⊥平面GFT． ∴只要Q在平面GFT与棱锥的表面的交线上运动，均有FQ⊥AC．此时，由中位线性质可知，△GFT的周长l=（SB+BD+SD）=，在（1）的条件下，l=…..（14分）

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考点分析：

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随着环保理念的深入，用建筑钢材余料创作城市雕塑逐渐流行．下图是其中一个抽象派雕塑的设计图．图中α表示水平地面，线段AB表示的钢管固定在α上；为了美感，需在焊接时保证：线段AC表示的钢管垂直于α，BD⊥AB，且保持BD与AC异面．
（1）若收集到的余料长度如下：AC=BD=24（单位长度），AB=7，CD=25，按现在手中的材料，求BD与α应成的角；
（2）设计师想在AB，CD中点M，N处再焊接一根连接管，然后挂一个与AC，BD同时平
行的平面板装饰物．但他担心此设计不一定能实现．请你替他打消疑虑：无论AB，CD多长，焊接角度怎样，一定存在一个过MN的平面与AC，BD同时平行（即证明向量 manfen5.com 满分网