Question

如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点．
（1）证明：△PBC是直角三角形；
（2）若PA=AB=2，且当直线PC与平面ABC所成角正切值为时，直线AB与平面PBC所成角的正弦值．

Answer

（1）由C在圆O上，知BC⊥AC，由PA⊥平面ABC，知BC⊥PA，由此能证明△BPC是直角三角形．
（2）过A作AH⊥PC于H，由BC⊥平面PAC，知BC⊥AH，AH⊥平面PBC，所以∠ABH是AC与平面PBC所成角．由此能求出AC与平面PBC所成角正弦值．
（1）证明：∵C在圆O上，∴BC⊥AC，
∵PA⊥平面ABC，∴BC⊥PA，
∵PC⊂平面PAC，∴BC⊥平面PAC，
∴BC⊥PC，∴△BPC是直角三角形．
（2）【解析】
如图，过A作AH⊥PC于H，
∵BC⊥平面PAC，∴BC⊥AH，
∴AH⊥平面PBC，则∠ABH就是要求的角．…（8分）
∵PA⊥平面ABC，∴∠PCA是PC与平面ABC所成角，…（9分）
∵tan∠PCA==，又PC=2，∴AC=．…（10分）
∴在Rt△PAC中，AH==，…（11分）
∴在RtABH中，sin∠ABH==，
故AC与平面PBC所成角正弦值为．…（12分）