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点O是边长为4的正方形ABCD的中心,点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线A...

点O是边长为4的正方形ABCD的中心,点E,F分别是AD,BC的中点.沿对角线AC把正方形ABCD折成直二面角D-AC-B
(1)求∠EOF的大小;
(2)求二面角E-OF-A的余弦值.

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(1)过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,先求出EF,再利用余弦定理,即可求∠EOF的大小; (2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM,证明∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角,从而可求二面角E-OF-A的平面角. 【解析】 (1)如图,过点E作EG⊥AC,垂足为G,过点F作FH⊥AC,垂足为H,则EG=FH=,GH=2. ∵二面角D-AC-B为直二面角,∴EF2=GH2+EG2+FH2-2EG•FHcos90°=8+2+2-0=12 又在△EOF中,OE=OF=2,∴cos∠EOF===-.  ∴∠EOF=120°.…..(6分) (2)过点G作GM垂直于FO的延长线于点M,连EM. ∵二面角D-AC-B为直二面角,∴平面DAC⊥平面BAC,交线为AC, 又∵EG⊥AC,∴EG⊥平面BAC. ∵GM⊥OF,由三垂线定理,得EM⊥OF. ∴∠EMG就是二面角E-OF-A的平面角.…..(9分) 在Rt△EGM中,∠EGM=90°,EG=,GM=OE=1, ∴tan∠EMG==,∴cos∠EMG= ∴二面角E-OF-A的余弦值为.…..(12分)
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考点分析:
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③一个平面α截此正方体,如果截面是四边形,则此四边形必有一边平行;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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