2010-2011学年广东省广州市荔湾区广雅中学高三（上）12月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知0≤θ＜2π，且复数z=cosθ+（sinθ-1）i是纯虚数，则θ=（ ）
A．
B．
C．π
D．

2. 难度：中等

在2010年广州亚运会期间，调查某班50名学生对乒乓球和羽毛球比赛的关注情况，发现有35名学生喜欢看乒乓球比赛，有30名学生喜欢看羽毛球比赛，有5名学生对乒乓球和羽毛球比赛都不感兴趣，则既喜欢看乒乓球比赛又喜欢看羽毛球比赛的学生人数是（ ）
A．10
B．15
C．20
D．25

3. 难度：中等

若等差数列{a_n}的前5项和S₅=25，且a₂=3，则a₇=（ ）
A．12
B．13
C．14
D．15

4. 难度：中等

统计某校1000名高一学生期中考试的数学成绩（满分100分），得到样本频率分布直方图如图示，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格人数是（ ）

A．80
B．700
C．800
D．900

5. 难度：中等

“a=l”是“直线x+ay=l与直线（2a-1）x+ay=2平行”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

6. 难度：中等

已知函数f（x）=cos（sinx）（x∈R），则f（x）是（ ）
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为π的偶函数
C．最小正周期为2π的奇函数
D．最小正周期为2π的偶函数

7. 难度：中等

若l，m是不同的空间直线，α，β是不重合的平面，则下列命题中为真命题的是（ ）
A．若α∥β，l⊂α，m⊂β，则l∥m
B．若α⊥β，l⊥α，则l∥β
C．若α⊥β，α∩β=m，l⊥m，则l⊥β
D．若l⊥α，1∥β，则α⊥β

8. 难度：中等

已知θ满足，则函数f（θ）=2sinθ+3cosθ的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

9. 难度：中等

若（2+x）⁴=a+a₁x+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴，则a₂-a₁+a₄-a₃等于    ．

10. 难度：中等

阅读如图所示的程序框图，若输出y的值为，则输入x的值为    ．

11. 难度：中等

已知一个空间几何体的三视图及有关数据如图所示，则这个几何体的体积是    ．

12. 难度：中等

已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点在抛物线y²=12x的准线上，则双曲线的方程为    ．

13. 难度：中等

请阅读下列材料：
若两个实数a₁，a₂满足a₁+a₂=1，则证明：构造函数f（x）=（x-a₁）²+（x-a₂）²=2x²-2x+a₁²+a₂²，因为对一切实数x，f（x）≥O恒成立，所以△=4-4×2（a₁²+a₂²）≤0，即根据上述证明方法，若n个实数a₁，a₂，…，a_n满足a₁+a₂+…+a_n=1时，你能得到的不等式为：    ．

14. 难度：中等

在直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），则它的截距式方程为    ；以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+4sinθ，则直线，被曲线C所截得的弦长等于    ．

15. 难度：中等

如图，已知AB是⊙0的弦，BC是0D的切线，P是AB上一点，D为圆心，且OP=5，PA=4，PB=6，则0D的半径为    （2分）：sin∠ABC=    （3分）．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，已知向量，=（cosC，cosB），且⊥．（1）求角B的大小；（2）求函数的值域．

17. 难度：中等

随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于，他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，．
（1）求证：SA⊥BC：（2）求直线SD与平面SAB所成角的下弦值．

19. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且曲线y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n处的切线的斜率恰好为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n；
（3）求证：．

20. 难度：中等

设函数f（x）=x²+x-l，g（x）=e^bx，其中P为自然对数的底．
（1）当b=-1时，求函数F（x）=f（x）•g（x）的极大、极小值；
（2）当b=-1时，求证：函数G（x）=f（x）+g（x）有且只有一个零点；
（3）若不等式g（x）≥ex对∀x＞0恒成立，求实数b的取值范围．

21. 难度：中等

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁、F₂，P是椭圆上一点，且∠F₁PF₂=60°，设
（1）求椭圆C的离心率e和λ的函数关系式e=f（λ）
（2）若椭圆C的离心率e最小，且椭圆C上的动点M到定点的最远距离为，求椭圆C的方程．