Question

随着现代社会的发展，拥有汽车的家庭越来越多，交通安全显得尤为重要，考取汽车驾驶执照要求也越来越高．某汽车驾驶学校在学员结业前对其驾驶技术进行4次考核，规定：按顺序考核，一旦考核合格，不必参加以后的考核，否则还需参加下次考核．若小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，且他参加第一次考核合格的概率大于，他直到参加第二次考核才合格的概率为．（1）求小明参加第一次考核就合格的概率；（2）求小明参加考核的次数ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）设出小明参加第一次考核就合格的概率，根据他直到参加第二次考核才合格的概率为，和小明参加每次考核合格的概率依次组成一个公差为的等差数列，写出关系式，得到方程，解方程即可，注意去掉不合题意的．
（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是，变量的可能取值是1，2，3，4，根据相互独立事件的概率公式得到变量对应的概率，写出分布列和期望值．
【解析】
（1）设小明参加第一次考核就合格的概率为p，
则
即49p2-42p+8=O，
解得：或
∵，
∴
即小明参加第一次考核就合格的概率为
（2）由（1）知，小明参加每次考核合格的概率依次是
∴ξ=1，2，3，4，
P（ξ=1）=，P（ξ=2）=

∴ξ的分布列为

∴