Question

四棱锥S-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，且∠ABC=45°AB=2，．
（1）求证：SA⊥BC：（2）求直线SD与平面SAB所成角的下弦值．

Answer

（1）过S作SO⊥BC于0，连OA，易得SO⊥底面ABCD，OA⊥OB，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，分别求出SA与BC的方向向量，代入向量数量积公式，求出其数量积为0，即可得到SA⊥BC
（2）求出直线SD的方向向量，及平面SAB的法向量，代入向量夹角公式，即可求出直线SD与平面SAB所成角的正弦值．
证明：（1）由侧面SBC⊥底面ABCD，交线BC，过S作SO⊥BC于0，连OA，得SO⊥底面ABCD．（2分）
∵SA=SB，
∴Rt△SOA≌Rt△SOB，得OA=OB，又∠ABC=45°，
故△AOB为等腰直角三角形，OA⊥OB．（4分）
如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OS为z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，
则，
则（6分）
∴，
故SA⊥BC．（7分）
【解析】
（2）
设n=（x，y，z）为平面SAB的一个法向量，
由
取x=l，得（10分）
而，
设直线，SD与平面SAB所成的角为θ，
则
故直线SD与平面SAB所成角的正弦值为（14分）