Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且曲线y=x²-nx+1（n∈N^*）在x=a_n处的切线的斜率恰好为S_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{na_n}的前n项和为T_n；
（3）求证：．

Answer

（1）依据题意对函数求导，根据导数的几何意义得到数列的递推公式，由所得的递推公式构建关于数列{an}的项之间的关系，发现规律，用间接法求数列{an}的通项公式；
（2）根据题设，由（1）知，nan=n（2n-1）=n•2n-n，由于此数列的通项是由可以看作是两个数列通项的和组成，故求数列{nan}的前n项和为Tn，要先分组，其中一组用等差数列的求和公式求和，另一组用错位相减法求和，然后再相加即可得到数列{nan}的前n项和为Tn；
（3）由数列{an}的通项公式及不等式的形式，此不等式的证明要采取逐步放大的方法进行证明，
【解析】
（1）y’=2x-n，由导数的几何意义，得Sn=2an-n①，（1分）则Sn+1=2an+1-（n+1）②，
②一④得：an+l=2an+1-2an-1，即an+1=2an+l，（2分）故an+1=2（an+1）．（3分）
由①知，al=S1=2a1-1，得a1=1．（4分）
∴{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列，
∴an+l=2n，即an=2n-l（n∈N*）．（5分）
（2）由（1）知，nan=n（2n-1）=n•2n-n，则，其中An=1•2+2•22+3•23++n•2n，①2An=1•22+2•23++（n-1）•2n+n•2n+1，②
①一②得：
∴An=（n-1）2n+1+2（8分）故（9分）
（3）∵=（12分）∴=（l4分）