2009-2010学年湖北省部分重点中学联考高一（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

对于任意实数a，b，c，d，命题
①若a＞b，c≠0，则ac＞bc；
②若a＞b，则ac²＞bc²
③若ac²＞bc²，则a＞b；
④若a＞b，则；
⑤若a＞b＞0，c＞d，则ac＞bd．
其中真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

2. 难度：中等

等差数列{a_n}中，若a₁+a₄+a₇=39，a₃+a₆+a₉=27，则前9项的和S₉等于（ ）
A．66
B．99
C．144
D．297

3. 难度：中等

已知集合A={x|-x²-2x+3≤0}，集合B={x|x²-x-6＜0}，则A∩B等于（ ）
A．{x|-3≤x＜-2}
B．{x|-3≤x＜-2或1≤x＜3}
C．{x|1≤x＜3}
D．{x|-3≤x＜3}

4. 难度：中等

在△ABC中，角A、B、C对应的边为a、b、c，若，，c=1，则a的大小为（ ）
A．4
B．
C．2
D．

5. 难度：中等

在200米高的山顶上，测得山下一塔顶与塔底的俯角分别为30°、60°，则塔高是（ ）
A．米
B．米
C．米
D．200米

6. 难度：中等

在等比数列{a_n}中，若a₂=6，且a₅-2a₄-a₃+12=0，则a_n为（ ）
A．6
B．6•（-1）^n-2
C．6•2^n-2
D．6或6•（-1）^n-2或6•2^n-2

7. 难度：中等

已知函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过点（-1，3）和（1，1）两点，若0＜c＜1，则a的取值范围是（ ）
A．（1，3）
B．（1，2）
C．[2，3）
D．[1，3]

8. 难度：中等

设{a_n}（n∈N^*）是等差数列，S_n是其前n项的和，且S₅＜S₆，S₆=S₇＞S₈，则下列结论错误的是（ ）
A．d＜0
B．a₇=0
C．S₉＞S₅
D．S₆与S₇均为S_n的最大值

9. 难度：中等

北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年5年间更新市内现有全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新的车辆数约为现有总车辆数的（参考数据：1.1⁴=1.46，1.1⁵=1.61）（ ）
A．10%
B．16.4%
C．16.8%
D．20%

10. 难度：中等

在教材中，我们称图（1）中的数为三角形数，图（2）中的数为正方形数．那么下列数中既是三角形数又是正方形数的是（ ）

A．289
B．1024
C．1225
D．1378

二、填空题

11. 难度：中等

已知数列3，9，…，729，则以下结论正确的是    ．（写出所有正确结论的编号）
①此数列可以构成等差数列，但不能构成等比数列；
②此数列可以构成等比数列，但不能构成等差数列；
③此数列既可以构成等差数列，也可以构成等比数列；
④此数列既不能构成等差数列，也不能构成等比数列．

12. 难度：中等

设a＞0，b＞0，若是3^a与3^b的等比中项，则+的最小值是    ．

13. 难度：中等

满足a=x，b=2，∠B=45°的△ABC有两解，则x的取值范围是    ．

14. 难度：中等

在一次社会实践活动中，某校要将100名学生送往某实习基地，现有4辆小客车和8辆面包车，每辆小客车可坐20位学生，每辆面包车可坐10位学生，且每台小客车和面包车的运输费分别是400元和300元，若每辆车只运一次，则该校所花的最少运费为    元．

15. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若a₁=-2，a₂=2，且a_n+2-a_n=1+（-1）ⁿ，则S₅₀=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

△ABC中，a、b、c分别为A、B、C的对边，如果a，b，c成等差数列，B=30°，△ABC的面积为，求△ABC的周长．

17. 难度：中等

如图，树顶A距地面7.7米，树上另一点距地面4.7米，人眼C离地面1.7米．问人离此树多远时，看树冠AB这一段的视角最大？

18. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项的和S_n=n²+n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若正项等比数列{b_n}中，前n项的和为S_n^′，且a₁b₁=1，a₄•（1-S₃^′）=1，求S_n^′的表达式；
（3）求数列{a_nS_n^′}的前n项的和T_n．

19. 难度：中等

已知，解关于x的不等式：，其中k＞1．

20. 难度：中等

为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为a_n个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a₁≠30时，写出数列{a_n}的一个递推公式，并证明数列{a_n-30}是一个等比数列；
（2）求出用a₁和n表示的数列{a_n}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a₁的取值范围．

21. 难度：中等

阅读下面一段文字：已知数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1=2，则易知通项a_n=2n-1，前n项的和S_n=n²．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证S_n＞n²，可以先证a_n＞2n-1，而要证a_n＞2n-1，只需证a_n-a_n-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x³+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：S_n≥2ⁿ-1．