Question

阅读下面一段文字：已知数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1=2，则易知通项a_n=2n-1，前n项的和S_n=n²．将此命题中的“等号”改为“大于号”，我们得到：数列{a_n}的首项a₁=1，如果当n≥2时，a_n-a_n-1＞2，那么a_n＞2n-1，且S_n＞n²．这种从“等”到“不等”的类比很有趣．由此还可以思考：要证S_n＞n²，可以先证a_n＞2n-1，而要证a_n＞2n-1，只需证a_n-a_n-1＞2（n≥2）．结合以上思想方法，完成下题：
已知函数f（x）=x³+1，数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），若数列{a_n}的前n项的和为S_n，求证：S_n≥2ⁿ-1．

Answer

本题考查的知识点是类比推理，由命题中的“等号”性质，类比推理出”“大于号”的性质．由a1=1，an+1=an3+1，an≥1．得出：an+1=an3+1≥an2+1≥2an，从而，得到an≥2n-1，最后利用等比数列的求和公式即可证得结论．
【解析】
∵a1=1，an+1=an3+1，an≥1．…4′
∴有：an+1=an3+1≥an2+1≥2an，
∴．…8′
∴，
即an≥2n-1．…11′
故．
∴Sn≥2n-1成立．…14′