Question

为了适应新课改的要求，某重点高中在高一500名新生中开设选修课．其中某老师开设的《趣味数学》选修课，在选课时设第n次选修人数为a_n个，且第n（n≥2）次选课时，选《趣味数学》的同学人数比第n-1次选修人数的一半还多15人．
（1）当a₁≠30时，写出数列{a_n}的一个递推公式，并证明数列{a_n-30}是一个等比数列；
（2）求出用a₁和n表示的数列{a_n}的通项公式．如果选《趣味数学》的学生越来越多，求a₁的取值范围．

Answer

（1）由题意，（其中n≥2），即；由a1≠30，得a1-30≠0，知{an-30}是等比数列；
（2）由（1）得，即，可得an-an-1＞0，从而得a1的取值范围．
【解析】
（1）依题意，有，（其中n≥2）；
∴，
又a1≠30，即a1-30≠0，
故{an-30}是一个以（a1-30）为首项，为公比的等比数列．
（2）由（1）得：；
∴，
又．
∴a1的取值范围是：0≤a1＜30．