2011年广西桂林市、河池市、防城港市高三第一次联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若（1-ai）（3+2i）为纯虚数，则实数a的值为（ ）
A．-
B．
C．-
D．

2. 难度：中等

已知函数y=f（x）的反函数f^-1（x）=log₂（x+2），则方程f（x）=0的根为（ ）
A．1
B．0
C．-
D．2

3. 难度：中等

不等式＜1的解集是（ ）
A．（-∞，-1）∪（2，+∞）
B．（-∞，1）
C．（-∞，1）∪（2，+∞）
D．（-∞，2）

4. 难度：中等

若曲线y=ax⁴在点（，-1）处的切线方程为y=4x+b，则b=（ ）
A．-5或3
B．-5
C．-3
D．3

5. 难度：中等

记（1+2x）⁷=a+a₁（1-x）+a₂（1-x）²+…+a₇（1-x）⁷，则a+a₁+a₂+…+a₇的值为（ ）
A．-1
B．1
C．-3⁷
D．3⁷

6. 难度：中等

若等比数列{a_n}满足a₄+a₈=-3，则a₆（a₂+2a₆+a₁₀）=（ ）
A．9
B．6
C．3
D．-3

7. 难度：中等

已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，C上的点M在C的准线上的射影为N，若2•=||•||，则点M的横坐标为（ ）
A．p
B．3p
C．p
D．p

8. 难度：中等

若函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，|ω|＞）满足f（1）=0，则（ ）
A．f（x-1）一定是偶函数
B．f（x-1）一定是奇函数
C．f（x+1）一定是偶函数
D．f（x+1）一定是奇函数

9. 难度：中等

若正实数x，y满足，则z=•的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．2

10. 难度：中等

如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（ ）

A．θ＞φ，m＞n
B．θ＞φ，m＜n
C．θ＜φ，m＜n
D．θ＜φ，m＞n

11. 难度：中等

若过椭圆C：+=1的左焦点F且倾斜角为45°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则+=（ ）
A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

在如图所示的10块地上选出6块种植A₁、A₂、…、A₆等六个不同品种的蔬菜，每块种植一种不同品种蔬菜，若A₁、A₂、A₃必须横向相邻种在一起，A₄、A₅横向、纵向都不能相邻种在一起，则不同的种植方案有（ ）

A．3120
B．3360
C．5160
D．5520

二、解答题

13. 难度：中等

过原点O作圆x²+y²-6x-8y+20=0的两条切线，设切点分别为P、Q，则线段PQ的长为    ．

14. 难度：中等

已知tanθ=2，则sinθcosθ+cos2θ=    ．

15. 难度：中等

若点P在△AOB的边AB上，且=m+4n（m，n∈R），则mn的最大值为    ．

16. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，E、F分别是PA、AB的中点，若∠CEF=90°，且AB=，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为    ．

17. 难度：中等

已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m=（sinB，1-cosB）与向量n=（2，0）的夹角为，求的最大值．

18. 难度：中等

为了拓展网络市场，腾讯公司为QQ用户推出了多款QQ应用，如“QQ农场”、“QQ音乐”、“QQ读书”等． 市场调查表明，QQ用户在选择以上三种应用时，选择农场、音乐、读书的概率分别为，，．现有甲、乙、丙三位QQ用户任意选择以上三种应用中的一种进行添加．
（Ⅰ）求三人所选择的QQ应用互不相同的概率；
（Ⅱ）记ξ为三人中选择的应用是QQ农场与QQ音乐的人数之和，求ξ的分布列与数学期望Eξ

19. 难度：中等

如图，侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC位于平行四边形ACDE中，AE=2，AC=AA₁=4，∠E=60°，点B为DE中点．
（Ⅰ）求证：平面A₁BC⊥平面A₁ABB₁．
（Ⅱ）设二面角A₁-BC-A的大小为α，直线AC与平面A₁BC所成的角为β，求sin（α+β）的值．

20. 难度：中等

设（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（2）当时，若在上至少存在一点x，使f（x）＞e-1成立，求a的取值范围．

21. 难度：中等

已知圆A：（x+2）²+y²=和圆B：（x-2）²+y²=，若圆P与圆A、圆B均外切，
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，若PQ的中点R在直线l：x=a（a≤）上的射影C满足：•=0，求a的取值范围．

22. 难度：中等

已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞．