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如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE...

如图,侧棱垂直底面的三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC位于平行四边形ACDE中,AE=2,AC=AA1=4,∠E=60°,点B为DE中点.
(Ⅰ)求证:平面A1BC⊥平面A1ABB1
(Ⅱ)设二面角A1-BC-A的大小为α,直线AC与平面A1BC所成的角为β,求sin(α+β)的值.

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(1)要证明平面A1BC⊥平面A1ABB1,关键是要在一个平面内找到一条与另外一个平面垂直的直线,我可们以利用已知,证明AB⊥BC,AA1⊥BC,根据已知条件,我们有两种思路证明线线垂直的办法,进而根据线面垂直的判定定理,得到BC垂直平面A1ABB1.再由面面垂直的判定定理得到结论; (2)由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC即∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α,由平面A1BC⊥平面A1ABB1,且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B,得AF⊥平面A1BC,即∠ACD为直线AC与平面A1BC所成的角,即∠ACD=β.求出α、β的三角函数值后,利用两角和的正弦公式即可得到答案,而求α、β有两种方法:一是构造三角形,解三角形;二是建立空间坐标系,利用空间向量求解. (Ⅰ)证法一:在平行四边形ACDE中, ∵AE=2,AC=4,∠E=60°,点B为DE中点. ∴∠ABE=60°,∠CBD=30°,从而∠ABC=90°,即AB⊥BC. 又AA1⊥面ABC,BC⊂面ABC ∴AA1⊥BC,而AA1∩AB=A, ∴BC⊥平面A1ABB1. ∵BC⊂平面A1BC ∴平面A1BC⊥平面A1ABB1 证法二、∵AE=2,AC=4,∠E=60°,点B为DE中点. ∴AB=2,,AB2+BC2=16=AC2, ∴AB⊥BC. 又AA1⊥面ABC,BC⊂面ABC, ∴AA1⊥BC,而AA1∩AB=A, ∴BC⊥平面A1ABB1 ∵BC⊂平面A1BC, ∴平面A1BC⊥平面A1ABB1. (Ⅱ)方法一、由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC ∴∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α, 在Rt△A1AB中,,. 以A为原点,建立空间直角坐标系A-xyz如图所示, 其中A1(0,0,4),,C(0,4,0),,,, 设为平面A1BC的一个法向量,则,∴即 令y=1,得平面A1BC的一个法向量,则, 又,∴, ∴, 即sin(α+β)=1.(12分) 方法二、由(Ⅰ)可知A1B⊥BC,AB⊥BC ∴∠A1BA为二面角A1-BC-A的平面角,即∠A1BA=α, 在Rt△A1AB中,,,. 过点A在平面A1ABB1内作AF⊥A1B于F,连接CF, 则由平面A1BC⊥平面A1ABB1,且平面A1BC∩平面A1ABB1=A1B,得AF⊥平面A1BC ∴∠ACF为直线AC与平面A1BC所成的角,即∠ACF=β. 在Rt△ACF中,,,. ∴, 即sin(α+β)=1.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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