Question

已知正项数列{a_n}满足：a₁=1，且（n+1）a_n+1²=na_n²-a_n+1a_n，n∈N^*
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{}的前n项积为T_n，求证：当x＞0时，对任意的正整数n都有T_n＞．

Answer

（I）先对（n+1）an+12-nan2+an+1an=0进行化简得到 ，再由累乘法可得到数列的通项公式是an．
（II）根据（I）求出Tn，利用数学归纳法证明即可，证明过程中注意数学归纳法的步骤和导数的灵活应用．
【解析】
（I）∵（n+1）an+12-nan2+an+1an=0
∴（另解-an不合题意舍去），
∴，
即 ，
（II）由（I）得：Tn=n!，
当x＞0时，Tn＞等价于xn＜n!ex  ①
以下用数学归纳法证明：
①当n=1时，要证x＜ex，令g（x）=ex-x，
则g′（x）=ex-1＞0，
∴g（x）＞g（0）=1＞0，即x＜ex 成立；
②假设当n=k时，①式成立，即xk＜k!ex，那么当n=k+1时，
要证xk+1＜（k+1）!ex也成立，
令h（x）=（k+1）!ex-xk+1，则h′（x）=（k+1）!ex-（（k+1）xk
=（k+1）（k!ex-xk），
由归纳假设得：h′（x）＞0，
∴h（x）＞h（0）=（k+1）!＞0，
即xk+1＜（k+1）!ex也成立，
由①②即数学归纳法原理得原命题成立．