Question

已知圆A：（x+2）²+y²=和圆B：（x-2）²+y²=，若圆P与圆A、圆B均外切，
（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程；
（Ⅱ）延长PB与点P的轨迹交于另一点Q，若PQ的中点R在直线l：x=a（a≤）上的射影C满足：•=0，求a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由两圆外切的性质得PA-PB=2，再由双曲线的定义知点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，
 依据双曲线的性质求出双曲线的方程．
（Ⅱ） 由直角三角形的性质得RC==xR-a，把PQ的方程的方程代入双曲线方程，利用判别式以根与系数的
关系，得到k2的范围，由弦长公式求出PQ，结合k2的范围求出a 的范围．
【解析】
（Ⅰ）设动圆的半径为r，则PA=r+，PB=r+1，两式相减得PA-PB=2，
由双曲线的定义知点P的轨迹是以A、B为焦点的双曲线的右支，由A（-2，0），B（2，0），
故 2a=2，c=2，∴b=，故其方程为x2-=1（x≥1）．
（Ⅱ）由 •=0知，⊥，故P、Q、C 构成直角三角形，点R到直线l的距离等于
RC==xR-a  ①．
当PQ的斜率不存在时，R与 B重合，a=-1，满足条件．
当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为 y=k（x-2），代入双曲线方程得：（3-k2）x2+4k2x-（4k2+3）=0，
则由  解得 k2＞3，且 xR==，
PQ=•|x1-x2|=，代入①可得 a==-1-，
由 k2＞3，得 a＜-1．
综上，a≤-1．