江苏省苏北三市（连云港、徐州、宿迁）2017届高三年级第三次模拟考试

一、填空题

1. 难度：简单

已知集合， ，则集合中元素的个数为____．

2. 难度：简单

设， （为虚数单位），则的值为____．

3. 难度：简单

在平面直角坐标系中，双曲线的离心率是____．

4. 难度：简单

现有三张识字卡片，分别写有“中”、“国”、“梦”这三个字．

将这三张卡片随机排序，则能组成“中国梦”的概率是____．

5. 难度：中等

下图是一个算法流程图，则输出的的值是              .

6. 难度：简单

已知一组数据， ， ， ， ，则该组数据的方差是____．

7. 难度：中等

已知实数， 满足 则的取值范围是____．

8. 难度：中等

若函数的图象过点，则函数在上的单调减区间是____．

9. 难度：中等

在公比为且各项均为正数的等比数列中， 为的前项和．若，且，则的值为____．

10. 难度：中等

如图，在正三棱柱中，已知，点在棱上，则三棱锥的体积为____．

11. 难度：困难

如图，已知正方形的边长为， 平行于轴，顶点， 和分别在函数， 和 ()的图象上，则实数的值为____．

12. 难度：中等

已知对于任意的，都有，则实数的取值范围是____．

13. 难度：困难

在平面直角坐标系中，圆．若圆存在以为中点的弦，且，则实数的取值范围是____．

14. 难度：困难

已知三个内角， ， 的对应边分别为， ， ，且， ．当取得最大值时， 的值为____．

二、解答题

15. 难度：中等

如图，在中，已知点在边上， ， ， ， ．

（1）求的值；

（2）求的长．

16. 难度：中等

如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点， )，平面与棱交于点．

（1）求证： ；

（2）若平面平面，求证： ．

17. 难度：困难

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为， ，过右焦点的直线与椭圆交于， 两点(点在轴上方)．

（1）若，求直线的方程；

（2）设直线， 的斜率分别为， ．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

18. 难度：困难

某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(， 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．

（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．

19. 难度：压轴

已知两个无穷数列和的前项和分别为， ， ， ，对任意的，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明： ；

（3）若为等比数列， ， ，求满足的值．

20. 难度：压轴

已知函数， ．

（1）当时，求函数的单调增区间；

（2）设函数， ．若函数的最小值是，求的值；

（3）若函数， 的定义域都是，对于函数的图象上的任意一点，在函数的图象上都存在一点，使得，其中是自然对数的底数， 为坐标原点．求的取值范围．

21. 难度：中等

[选修41：几何证明选讲]

如图，圆的弦， 交于点，且为弧的中点，点在弧上．若，求的度数．

22. 难度：简单

[选修42：矩阵与变换]

已知矩阵，若，求矩阵的特征值．

23. 难度：简单

[选修44：坐标系与参数方程]

在极坐标系中，已知点，点在直线上．当线段最短时，求点的极坐标．

24. 难度：简单

[选修45：不等式选讲]    已知， ， 为正实数，且．求证： ．

25. 难度：困难

在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为， ，求证： 的大小为定值．

26. 难度：压轴

已知集合，对于集合的两个非空子集， ，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为 (视与为同一组“互斥子集”)．

（1）写出， ， 的值；

（2）求．