Question

某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆的圆心与矩形对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(为上切点)，与左右两边相交(， 为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且．设，透光区域的面积为．

（1）求关于的函数关系式，并求出定义域；

（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边的长度．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析: 根据题意表示出所需的线段长度，再分别求三角形和扇形面积，从而表示出总面积，再根据题意要求求出函数的定义域；根据题意表示出“透光比”函数，借助求导，研究函数单调性求出最大值.

试题解析:（1）过点作于点，则，

所以，

．

所以，

因为，所以，所以定义域为．

（2）矩形窗面的面积为．

则透光区域与矩形窗面的面积比值为．…10分

设， ．

则

，

因为，所以，所以，故，

所以函数在上单调减．

所以当时， 有最大值，此时 (m)．

答：（1）关于的函数关系式为，定义域为；

（2）透光区域与矩形窗面的面积比值最大时， 的长度为1m．

【点睛】应用问题在高考试题中很常见，也是学生学习的弱点，建立函数模型是关键，本题根据题目所给的条件列出面积关于自变量的函数关系，注意函数的定义域；求函数最值问题方法很多，求导是一种通法.