Question

如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右顶点分别为， ，过右焦点的直线与椭圆交于， 两点(点在轴上方)．

（1）若，求直线的方程；

（2）设直线， 的斜率分别为， ．是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：设直线的方程，联立方程组，利用向量关系找出两交点的纵坐标关系，解方程求出直线方程；利用第一步的根与系数关系，借助已知的斜率关系求出的值.

试题解析：（1）因为， ，所以，所以的坐标为

， 设， ，直线的方程为，

代入椭圆方程，得，

则， ．

若，则，

解得，故直线的方程为．

（2）由（1）知， ， ，

所以，

所以

，

故存在常数，使得．

【点睛】求直线方程首先要设出方程，根据题目所提供的坐标关系，求出直线方程中的待定系数，得出直线方程；第二步存在性问题解题思路是首先假设存在，利用所求的， ，结合已知条件，得出坐标关系，再把， 代入求出符合题意，则存在，否则不存在.