[选修41：几何证明选讲]
如图，圆
的弦
， 
交于点
，且
为弧
的中点，点
在弧
上．若
，求
的度数．
已知函数
， 
．
（1）当
时，求函数
的单调增区间；
（2）设函数
， 
．若函数
的最小值是
，求
的值；
（3）若函数
， 
的定义域都是
，对于函数
的图象上的任意一点
，在函数
的图象上都存在一点
，使得
，其中
是自然对数的底数， 
为坐标原点．求
的取值范围．
已知两个无穷数列
和
的前
项和分别为
， 
， 
， 
，对任意的
，都有
．
（1）求数列
的通项公式；
（2）若
为等差数列，对任意的
，都有
．证明： 
；
（3）若
为等比数列
， 
， 
，求满足
的
值．
某景区修建一栋复古建筑，其窗户设计如图所示．圆
的圆心与矩形
对角线的交点重合，且圆与矩形上下两边相切(
为上切点)，与左右两边相交(
， 
为其中两个交点)，图中阴影部分为不透光区域，其余部分为透光区域．已知圆的半径为1m，且
．设
，透光区域的面积为
．
（1）求
关于
的函数关系式，并求出定义域；
（2）根据设计要求，透光区域与矩形窗面的面积比值越大越好．当该比值最大时，求边
的长度．
如图，在平面直角坐标系
中，已知椭圆
的左、右顶点分别为
， 
，过右焦点
的直线
与椭圆
交于
， 
两点(点
在
轴上方)．
（1）若
，求直线
的方程；
（2）设直线
， 
的斜率分别为
， 
．是否存在常数
，使得
？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由．
如图，在四棱锥
中，底面
是矩形，点
在棱
上(异于点
， 
)，平面
与棱
交于点
．
（1）求证： 
；
（2）若平面
平面
，求证： 
．
