Question

已知两个无穷数列和的前项和分别为， ， ， ，对任意的，都有．

（1）求数列的通项公式；

（2）若为等差数列，对任意的，都有．证明： ；

（3）若为等比数列， ， ，求满足的值．

Answer

（1）（2）

【解析】试题分析：利用题目提供的 方面的关系，借助转化为的关系，证明出满足等差数列定义，利用等差数列通项公式求出，进而得出， 成等差数列，写出，根据恒成立，得出和公差的要求，比较的大小可采用比较法； 是以为首项， 为公比的等比数列，求出和，根据题意求出的值.

试题解析：

（1）由，得，

即，所以．

由， ，可知．

所以数列是以为首项， 为公差的等差数列．

故的通项公式为．

（2）证法一：设数列的公差为，则，

由（1）知， ．

因为，所以，即恒成立，

所以 即

又由，得，

所以

．

所以，得证．

证法二：设的公差为，假设存在自然数，使得，

则，即，

因为，所以．

所以，

因为，所以存在，当时， 恒成立．

这与“对任意的，都有”矛盾！

所以，得证．

（3）由（1）知， ．因为 为等比数列，且， ，

所以是以为首项， 为公比的等比数列．

所以， ．

则，

因为，所以，所以．

而，所以，即（*）．

当， 时，（*）式成立；

当时，设，

则，

所以．

故满足条件的的值为和．

【点睛】等差数列和等比数列是高考的重点，要掌握等差数列和等比数列的通项公式与前项和公式，另外注意利用这个公式，从到，从到转化.