Question

已知集合，对于集合的两个非空子集， ，若，则称为集合的一组“互斥子集”．记集合的所有“互斥子集”的组数为 (视与为同一组“互斥子集”)．

（1）写出， ， 的值；

（2）求．

Answer

（1）， ， ．（2）．

【解析】试题分析：分别对三种情况研究集合的非空子集，并找出交集为空集的子集对数，得出，任意一个元素只能在集合， ， 之一中，则这个元素在集合， ， 中，共有种； 减去为空集的种数和 为空集的种数加1，又与为同一组“互斥子集”，得出.

试题解析：（1）， ， ．

（2）解法一：设集合中有k个元素， ．

则与集合互斥的非空子集有个．

于是 ．

因为，

，

所以．

解法二：任意一个元素只能在集合， ， 之一中，

则这个元素在集合， ， 中，共有种；

其中为空集的种数为， 为空集的种数为，

所以， 均为非空子集的种数为，

又与为同一组“互斥子集”，

所以．

【点睛】本题为自定义信息题，这是近几年一些省市高考压轴题，首先要读懂新定义的概念的含义，从简单的情况入手去研究，如本题先从入手， ，其非空子集有三个，满足的有一对，则，继续探讨，推广到.