Question

在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为， ，求证： 的大小为定值．

Answer

（1）曲线的方程为．（2）详见解析

【解析】试题分析：根据题意动点到定点距离等于到定直线距离，符合抛物线定义，写出抛物线方程，第二步设出直线方程，联立方程组，根据根与系数关系可得，可知为定值.

试题解析：（1）因为直线与垂直，所以为点到直线的距离．

连结，因为为线段的中垂线与直线的交点，所以．

所以点的轨迹是抛物线．

焦点为，准线为．

所以曲线的方程为．

（2）由题意，过点的切线斜率存在，设切线方程为，

联立 得，

所以，即（*），

因为，所以方程（*）存在两个不等实根，设为，

因为，所以，为定值．

【点睛】求动点轨迹方程是常见考题，常用方法有直接法、坐标相关法，定义法、交轨法、参数法等，定点、定值问题常出现在考题的第二步，一般采用设而不求的解题思想.