《第1章 导数及其应用》2010年单元测试卷（巴蜀中学）（文科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

曲线y=x³-3x²+1在点（1，-1）处的切线方程为（ ）
A．y=3x-4
B．y=-3x+2
C．y=-4x+3
D．y=4x-5

2. 难度：中等

函数y=1+3x-x³有（ ）
A．极小值-1，极大值1
B．极小值-2，极大值3
C．极小值-2，极大值2
D．极小值-1，极大值3

3. 难度：中等

函数y=2x³-3x²-12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（ ）
A．5，-15
B．5，-4
C．-4，-15
D．5，-16

4. 难度：中等

已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（ ）
A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点
B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点
C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点
D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点

5. 难度：中等

设f（x）是[a，b]上的连续函数，且在（a，b）内可导，则下面的结论中正确的是（ ）
A．f（x）的极值点一定是最值点
B．f（x）的最值点一定是极值点
C．f（x）在此区间上可能没有极值点
D．f（x）在此区间上可能没有最值点

6. 难度：中等

若函数f（x）=x²+bx+c的图象的顶点在第四象限，则函数f′（x）的图象是（ ）
A．
B．
C．
D．

7. 难度：中等

某三次函数当x=1时有极大值4，当x=3时有极小值0，且函数图象过原点，则此函数为（ ）
A．y=x³+6x²+9
B．y=x³-6x²-9
C．y=x³-6x²+9
D．y=x³+6x²-9

8. 难度：中等

设P为曲线C：y=x²+2x+3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围是，则点P横坐标的取值范围是（ ）
A．
B．[-1，0]
C．[0，1]
D．

9. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+ax²+（a+6）x+1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ）
A．-1＜a＜2
B．-3＜a＜6
C．a＜-3或a＞6
D．a＜-1或a＞2

10. 难度：中等

若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x³和都相切，则a等于（ ）
A．-1或
B．-1或
C．或
D．或7

二、填空题

11. 难度：中等

设f（x）=1-2x³，则f′（1）=    ．

12. 难度：中等

函数y=x³-2x²+x+a（a为常数）的单调递减区间    ．

13. 难度：中等

已知函数y=f（x）的图象在M（1，f（1））处的切线方程是+2，f（1）+f′（1）=    ．

14. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+3mx²+nx+m²在x=-1时有极值0，则m+n=    ．

15. 难度：中等

下列图象中，有一个是函数f（x）=x³+ax²+（a²-1）x+1（a∈R，a≠0）的导函数f′（x）的图象，则f（-1）=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在曲线y=x²过哪一点的切线，
（1）平行于直线y=4x-5
（2）垂直于直线2x-6y+5=0．

17. 难度：中等

设f（x）=x³-3x²+5
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若x∈[1，3]，求f（x）的最大值和最小值．

18. 难度：中等

已知函数f（x）=x³+bx²+cx+d的图象过点P（0，2），且在点M（-1，f（-1））处的切线方程为6x-y+7=0，求函数y=f（x）解析式．

19. 难度：中等

设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）-f'（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

20. 难度：中等

函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

21. 难度：中等

设函数，其中常数a＞1．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若当x≥0时，f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．