Question

函数f（x）=ax³+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行，导函数f′（x）的最小值为-12．
（1）求a、b的值；
（2）讨论方程f（x）=m解的情况（相同根算一根）．

Answer

（1）利用f′（x）=3ax2+b的最小值为-12，可知b=-12，且a＞0，根据直线6x+y+7=0的斜率为-6，可得f'（1）=3a+b=-6，所以a=2；
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，，从而可求函数f（x）的单调增区间是（-∞，）和，进而可知f（x）在时取得极大值为，f（x）在时取得极小值为，由此可确定方程解的情况．
【解析】
（1）∵f′（x）=3ax2+b的最小值为-12
∴b=-12，且a＞0
又直线6x+y+7=0的斜率为-6
∵函数f（x）=ax3+bx（a≠0）图象在点（1，f（1））处的切线与直线6x+y+7=0平行
∴f'（1）=3a+b=-6
∴a=2
∴a=2，b=-12
（2）由（1）知f（x）=2x3-12x，，列表如下：

x （-∞，）
f′ + - +
f（x） ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗

所以，函数f（x）的单调增区间是（-∞，）和
∴f（x）在时取得极大值为，f（x）在时取得极小值为
∴当或时，方程有一根；
当或时，方程有两个根；
当时，方程有三个根