2012-2013学年江西省百所重点高中高三（上）段考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知全集U=R，集合A={x|x²-3x-4≤0}，B={x||x-1|≥3}，则集合A∩（C_UB）等于（ ）
A．{x|-4≤x＜3}
B．{x|-2≤≤3}
C．{x|-1≤x＜4}
D．{x|3＜x≤4}

2. 难度：中等

函数f（x）=的定义域是（ ）
A．（0，1]
B．[1，2）
C．（0，1）
D．（1，2）

3. 难度：中等

已知sin（）=，则cos（π-2θ）等于（ ）
A．
B．
C．
D．

4. 难度：中等

已知a，b，c∈R⁺，若，则（ ）
A．c＜a＜b
B．b＜c＜a
C．a＜b＜c
D．c＜b＜a

5. 难度：中等

已知{a_n}是等比数列，a₂=2，a₅=，则a₁a₂+a₂a₃+…+a_na_n+1（n∈N^*）的取值范围是（ ）
A．[12，16]
B．[8，]
C．[8，）
D．[，]

6. 难度：中等

已知函数f（x）=，若存在x₁，x₂∈R且f（x₁）=f（x₂）成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜2
B．a＜4
C．2≤a＜4
D．a＞2

7. 难度：中等

已知a＜b，函数f（x）=sinx，g（x）=cosx．命题p：f（a）•f（b）＜0，命题q：函数g（x）在区间（a，b）内有最值．则命题p是命题q成立的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件

8. 难度：中等

已知向量，是相互垂直的单位向量，且||=13，，，则对于任意的实数t₁，t₂，||的最小值为（ ）
A．5
B．7
C．12
D．13

9. 难度：中等

如图是函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象，M、N分别是最大、最小值点，且，则A•ω的值为（ ）

A．
B．
C．
D．

10. 难度：中等

如图所示，设点A是单位圆内的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的弧的长为l，原点O到弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致是（ ）

A．
B．
C．
D．

二、填空题

11. 难度：中等

若||=1，||=，且（-）⊥，则与的夹角是     ．

12. 难度：中等

已知不等式1-的解集为（-1，2），则=    ．

13. 难度：中等

已知分别以d₁和d₂为公差的等差数列{a_n}和{b_n}满足a₁=18，b₁₄=36，a_k=b_k=0，且a₁，a₂，a₃…，a_k，b_k+1，b_k+2，••，b₁₄，…（k＜14）的前n项和S_n满足S₁₄=2S_k，则a_n+b_n=    ．

14. 难度：中等

已知A（-2，0），B（0，2），实数k是常数，M，N是圆x²+y²+kx=0上不同的两点，P是圆x²+y²+kx=0上的动点，如果M，N关于x-y-1=0对称，则△PAB面积的最大值是    ．

15. 难度：中等

已知二次函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2cos（B-C）=4sinB•sinC-1．
（1）求A；
（2）若a=3，sin=，求b．

17. 难度：中等

在等差数列{a_n}中，a₂+a₇=-23，a₃+a₈=-29．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n+b_n}是首项为1，公比为c的等比数列，求{b_n}的前n项和S_n．

18. 难度：中等

如图，两海上航线相交于岛A，若已知AB=100海里，甲渔船从A岛撤离，沿AC方向以50海里/小时的速度行驶，同时乙巡航船从B码头出发，沿BA方向以v海里/小时的速度行驶，至A岛即停止前行（甲船仍继续行驶）（两船的船长忽略不计），
（1）求甲、乙两船的最近距离（用含v的式子表示）；
（2）若甲、乙两船开始行驶到甲、乙两船相距最近时所用时间为t小时，问v为何值时t最大？

19. 难度：中等

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的：“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

20. 难度：中等

在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，动点P与两个定点M（1，0），N（4，0）的距离之比为．
（Ⅰ）求动点P的轨迹W的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+3与曲线W交于A，B两点，在曲线W上是否存在一点Q，使得，若存在，求出此时直线l的斜率；若不存在，说明理由．

21. 难度：中等

已知函数（a∈R且a≠0）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ） 记函数y=F（x）的图象为曲线C．设点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是曲线C上的不同两点，如果在曲线C上存在点M（x，y），使得：①；②曲线C在M处的切线平行于直线AB，则称函数F（x）存在“中值相依切线”．
试问：函数f（x）是否存在“中值相依切线”，请说明理由．