Question

对于函数f（x），若f（x）=x，则称x为f（x）的：“不动点”；若f[f（x）]=x，则称x为f（x）的“稳定点”．函数f（x）的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A={x|f[f（x）]=x}．
（1）设函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0），且A=∅，求证：B=∅；
（2）设函数f（x）=3x+4，求集合A和B，并分析能否根据（1）（2）中的结论判断A=B恒成立？若能，请给出证明，若不能，请举以反例．

Answer

（1）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）结合二次方程的根的个数与△的关系，可得结论；
（2）由已知中不动点的定义，由函数f（x）=3x+4，求出集合A和B，另可举出反例f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2，推翻结论A=B恒成立
【解析】
∵A={x|f[f（x）]=x}=∅，
∴ax2+bx+c=x无解
即△=（b-1）2-4a＜0
①当a＞0时，二次函数y=f（x）-x，即y=ax2+（b-1）x+c的图象在x轴的上方
∴∀x∈R，f（x）-x恒成立
∴∀x∈R，f（x）＞x恒成立
∴∀x∈R，f[f（x）]＞f（x）＞x恒成立，即B=∅；
②当a＜0时，同理可证B=∅；
综上，对于函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），当A=∅时，B=∅；
（2）由f（x）=x，f（x）=3x+4得3x+4=x，解得x=-2
由f[f（x）]=x得3（3x+4）+4=x，解得x=-2
∴A=B={-2}
但A=B不能恒成立，如f（x）为如下对应关系时：
f（1）=1，f（2）=3，f（3）=2
则有A={1}，B={1，2，3}使A≠B