2011-2012学年江苏省常州市前黄高级中学高二（上）期中数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

命题“∀x∈R，x²+x+1＞0”的否定是    ．

2. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的左右焦点，若直线l过焦点F₁，且与椭圆交于A、B，则△ABF₂的周长为    ．

3. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的焦点，点P是C上的动点，则PF₁的取值范围为    ．

4. 难度：中等

抛物线y=ax²的准线方程为，则实数a的值为    ．

5. 难度：中等

“x＜1”是“x＜a”的充分不必要条件，则实数a的取值范围为    ．

6. 难度：中等

在直角坐标平面内，已知，若，则点P（x，y）所在曲线的方程为    ．

7. 难度：中等

在△ABC中，B（-3，0），C（3，0），且AB、BC、AC成等差数列，则△ABC面积的最大值为    ．

8. 难度：中等

已知双曲线C与曲线有公共的渐近线，且经过点，则C的方程为    ．

9. 难度：中等

“|x|≤2，且|y|≤1”是“”的    条件．

10. 难度：中等

已知F₁、F₂是双曲线的焦点，点P是双曲线C上的动点，若PF₁=2PF₂，∠F₁PF₂=60°，则双曲线C的离心率为    ．

11. 难度：中等

（理科试题）如图，在空间四边形OABC中，G是△ABC的重心，若，则x+y+z=    ．

12. 难度：中等

（文科试题）已知抛物线y²=2px，O是坐标原点，F是焦点，P是抛物线上的点，使得△POF是直角三角形，则这样的点P共有    个．

13. 难度：中等

已知椭圆，直线l：ax+by-4a+2b=0，则直线l与椭圆C的公共点有    个．

14. 难度：中等

函数，若方程f（x）=m恰有三个不同的实数根，则实数m的值为    ．

15. 难度：中等

已知点A（2，0），B（1，4），M、N是y轴上的动点，且满足MN=4，△AMN的外心P在y轴上的射影为Q，则PQ+PB的最小值为    ．

二、解答题

16. 难度：中等

已知命题p：“方程表示焦点在x轴上的椭圆”，命题q：“方程表示双曲线”．
（1）若p是真命题，求实数k的取值范围；
（2）若q是真命题，求实数k的取值范围；
（3）若“p∨q”是真命题，求实数k的取值范围．

17. 难度：中等

已知三点P（5，2）、F₁（-6，0）、F₂（6，0）．
（Ⅰ）求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆标准方程；
（Ⅱ）设点P、F₁、F₂关于直线y=x的对称点分别为P′、F₁′、F₂′，求以F₁′、F₂′为焦点且过点P′的双曲线的标准方程．

18. 难度：中等

已知F₁、F₂是椭圆的左右焦点，点P是椭圆C上的动点．
（1）若椭圆C的离心率为，且的最大值为8，求椭圆C的方程；
（2）若△F₁PF₂为等腰直角三角形，求椭圆C的离心率．

19. 难度：中等

已知抛物线E：x²=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l交于C、D．
（1）若点P是抛物线上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证：PQ=PM；
（2）求证：为定值；
（3）求CD的最小值．

20. 难度：中等

已知抛物线C：y²=4x，直线l：x+y+m=0与抛物线交于A、B两点．
（1）若m=-1，求弦AB的长；
（2）若P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）、R（x₃，y₃）是抛物线C上的三点，且直线PQ、QR、RP的斜率成等差数列，求证：x₂、x₁、x₃成等差数列；
（3）在抛物线C上是否存在一个定点P，使得直线PA、PB的斜率互为相反数，若存在，求出点P；若不存在，请说明理由．

21. 难度：中等

已知椭圆的右焦点为F，过点P（5，0）的直线l与椭圆C交于Q、R，且．
（1）若，求直线l的方程；
（2）试用λ表示Q点的横坐标，并求出λ的最大值；
（3）若点S是点R关于x轴的对称点，求证：．