Question

已知椭圆的右焦点为F，过点P（5，0）的直线l与椭圆C交于Q、R，且．
（1）若，求直线l的方程；
（2）试用λ表示Q点的横坐标，并求出λ的最大值；
（3）若点S是点R关于x轴的对称点，求证：．

Answer

（1）设R（x1，y1），Q（x2，y2），利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，即可求得直线l的方程；
（2）利用，可得坐标之间的关系，再利用点在椭圆上，求得点的坐标，当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大；
（3）由（2）知，S（x1，-y1），F（1，0），用坐标表示向量，即可证得结论．
（1）【解析】
设R（x1，y1），Q（x2，y2），则
∵，∴（x1-5，y1）=（x2-5，y2）
∴x1=x2-，y1=y2，
∵，
∴，
∵P（5，0），∴直线l的斜率为±
∴直线l的方程为y=±（x-5）；
（2）【解析】
∵，∴（x1-5，y1）=λ（x2-5，y2）
∴x1=λx2-5λ+5，y1=λy2，
∵，
∴
当且仅当P，Q，R在长轴上时，λ最大，此时，
∴λ=
（3）证明：由（2）知，S（x1，-y1），F（1，0）
∴=（1-x1，y1），=（x2-1，y2），
∵x1=λx2-5λ+5，y1=λy2，
∴