Question

已知抛物线E：x²=4y，直线l过点M（0，2）且与抛物线交于A、B两点，直线OA、OB分别与抛物线的准线l交于C、D．
（1）若点P是抛物线上任意一点，点P在直线l上的射影为Q，求证：PQ=PM；
（2）求证：为定值；
（3）求CD的最小值．

Answer

（1）设P（x，+），抛物线E：x2=4y的准线方程l为y=-1．由点P在直线l上的射影为Q，知PQ=+，由M（0，2），知PM==+，由此能够证明PQ=PM．
（2）由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，由，得x2-4kx-8=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=4k，x1•x2=-8，y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-8k2+8k2+4=4，由此能够证明为定值．
（3）由A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0），C，D都在直线l：y=-1上，知，D（-），故CD=||===，由此能求出CD的最小值．
【解析】
（1）∵点P是抛物线上任意一点，
∴设P（x，+），
抛物线E：x2=4y的准线方程l为y=-1．
∵点P在直线l上的射影为Q，
∴PQ=+，
∵M（0，2），∴PM==+，
∴PQ=PM．
（2）证明：由题设知直线AB的斜率一定存在，设AB：y=kx+2，
由，得x2-4kx-8=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则
x1+x2=4k，x1•x2=-8，
y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4=-8k2+8k2+4=4，
∵=（x1，y1），=（x2，y2），
∴=-8+4=-4．
故为定值-4．
（3）∵A（x1，y1），B（x2，y2），O（0，0），
∴直线AO：，直线BO：，
∵C，D都在直线l：y=-1上，
∴，D（-），
∴CD=||=
=
==
==2，
∴当k=0时，CD取最小值2．