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已知抛物线E:x2=4y,直线l过点M(0,2)且与抛物线交于A、B两点,直线OA、OB分别与抛物线的准线l交于C、D.
(1)若点P是抛物线manfen5.com 满分网上任意一点,点P在直线l上的射影为Q,求证:PQ=PM;
(2)求证:manfen5.com 满分网为定值;
(3)求CD的最小值.

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(1)设P(x,+),抛物线E:x2=4y的准线方程l为y=-1.由点P在直线l上的射影为Q,知PQ=+,由M(0,2),知PM==+,由此能够证明PQ=PM. (2)由题设知直线AB的斜率一定存在,设AB:y=kx+2,由,得x2-4kx-8=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1•x2=-8,y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4,由此能够证明为定值. (3)由A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0),C,D都在直线l:y=-1上,知,D(-),故CD=||===,由此能求出CD的最小值. 【解析】 (1)∵点P是抛物线上任意一点, ∴设P(x,+), 抛物线E:x2=4y的准线方程l为y=-1. ∵点P在直线l上的射影为Q, ∴PQ=+, ∵M(0,2),∴PM==+, ∴PQ=PM. (2)证明:由题设知直线AB的斜率一定存在,设AB:y=kx+2, 由,得x2-4kx-8=0, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=4k,x1•x2=-8, y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4=-8k2+8k2+4=4, ∵=(x1,y1),=(x2,y2), ∴=-8+4=-4. 故为定值-4. (3)∵A(x1,y1),B(x2,y2),O(0,0), ∴直线AO:,直线BO:, ∵C,D都在直线l:y=-1上, ∴,D(-), ∴CD=||= = == ==2, ∴当k=0时,CD取最小值2.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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