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(文科试题)已知抛物线y2=2px,O是坐标原点,F是焦点,P是抛物线上的点,使...

(文科试题)已知抛物线y2=2px,O是坐标原点,F是焦点,P是抛物线上的点,使得△POF是直角三角形,则这样的点P共有    个.
显然直角三角形△POF的直角顶点不可能是坐标原点O.当直角顶点在焦点F时,易得满足条件的P点有两个;接下来用数量积可证明>0,可得∠OPF是锐角,最后综上所述,得满足条件的点P只有两个. 【解析】 分3种情况加以讨论 ①根据题意,显然∠POF不可能是直角,所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O, ②当∠PFO=90°时,即直角顶点在焦点F时,过点F作直线与x轴垂直,交于抛物线y2=2px于P点,这样满足条件的P点有两个; ③接下来证明∠OPF不可能是直角: 抛物线的焦点坐标为F(,0),设抛物线上的点P坐标为(,y),可得 =(,y),=(-,y) ∴=(-)+y2=+ ∵>0且>0 ∴=>0, ∴cos∠OPF>0,结合∠OPF∈(0,π),可得∠OPF是锐角. 综上所述,得满足条件的点P只有两个. 故答案为:2
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