显然直角三角形△POF的直角顶点不可能是坐标原点O.当直角顶点在焦点F时,易得满足条件的P点有两个;接下来用数量积可证明>0,可得∠OPF是锐角,最后综上所述,得满足条件的点P只有两个.
【解析】
分3种情况加以讨论
①根据题意,显然∠POF不可能是直角,所以直角三角形△POF的直角顶点不可能是原点O,
②当∠PFO=90°时,即直角顶点在焦点F时,过点F作直线与x轴垂直,交于抛物线y2=2px于P点,这样满足条件的P点有两个;
③接下来证明∠OPF不可能是直角:
抛物线的焦点坐标为F(,0),设抛物线上的点P坐标为(,y),可得
=(,y),=(-,y)
∴=(-)+y2=+
∵>0且>0
∴=>0,
∴cos∠OPF>0,结合∠OPF∈(0,π),可得∠OPF是锐角.
综上所述,得满足条件的点P只有两个.
故答案为:2