2011-2012学年山西省忻州一中高三（上）期中数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z=1+i，则=（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

下面程序框图，如果输入三个实数a、b、c，要求输出这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项中的（ ）
A．c＞
B．x＞c
C．c＞b
D．b＞c

3. 难度：中等

直线l：y-1=k（x-1）和圆C：x²+y²-2y=0的关系是（ ）
A．相离
B．相切或相交
C．相交
D．相切

4. 难度：中等

已知数列{a_n}为等差数列，且a₁+a₇+a₁₃=4π，则tan（a₂+a₁₂）的值为（ ）
A．-
B．
C．
D．-

5. 难度：中等

若集合A={x|x²-5x+4＜0}，B={x||x-a|＜1}，则“a∈（2，3）”是“B⊆A”的（ ）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分又不必要条件

6. 难度：中等

已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的表面积是（ ）

A．cm²
B．[600+200（+）]cm²
C．cm²
D．（600+400+200）cm²

7. 难度：中等

将函数f（x）=a^x图象向右平移n个单位得函数g（x）的图象，由f（x），g（x）的图象及直线y=1和y=3围成的封闭图形的面积为6，则n=（ ）

A．1
B．2
C．3
D．4

8. 难度：中等

已知函数f（x）=log_a，x∈[2，4]的最小值为1，则a=（ ）
A．
B．
C．3
D．或3

9. 难度：中等

在R上定义的偶函数f（x）满足f（x）=f（2-x）（x∈R），且在[1，2]上为减函数，则f（x）（ ）
A．在[-2，-1]上为增函数，在[3，4]上为增函数
B．在[-2，-1]上为增函数，在[3，4]上为减函数
C．在[-2，-1]上为减函数，在[3，4]上为增函数
D．在[-2，-1]上为减函数，在[3，4]上为减函数

10. 难度：中等

已知函数满足对任意x₁≠x₂，都有（x₁-x₂）[f（x₁）-f（x₂）]＜0成立，则a的取值范围为（ ）
A．
B．（0，1）
C．
D．（0，3）

11. 难度：中等

如图，单位圆O中，是两个给定的夹角为120°的向量，P为单位圆上一动点，设，则设m+n的最大值为M，最小值为N，则M-N的值为（ ）

A．2
B．
C．4
D．

12. 难度：中等

如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周，点P所旋转过的弧的长为l，弦AP的长为d，则函数d=f（l）的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

设f（x）=，则f（）+f（2x-1）的定义域为    ．

14. 难度：中等

如图，已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则函数f（x）=    ．（写出函数f（x）的解析式）

15. 难度：中等

某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）．s₁，s₂分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的标准差，则s₁    s₂．（填“＞”、“＜”或“=”）

16. 难度：中等

下列四个命题中
①若a，b，c∈R，则“ac²＞bc²”是“a＞b”成立的充分不必要条件；
②当x∈（0，）时，函数y=sinx+的最小值为2；
③命题“若|x|＞2，则x≥2或x≤-2”的否命题是“若|x|＜2，则-2＜x＜2”；
④函数f（x）=lnx+x-在区间（1，2）上有且仅有一个零点．
其中正确命题的序号是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

已知 3cos²α+2sin2α=-1．
求：（1）tanα的值；
（2）3cos2α+4sin2α的值．

18. 难度：中等

设函数f（x）=mx²-mx-1．
（1）若对于一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；
（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围．

19. 难度：中等

设有两个命题：P：指数函数y=（c²-5c+7）^x在R上单调递增；Q：不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

20. 难度：中等

建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为60°（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段BC与两腰长的和）要最小．
（1）求外周长的最小值，此时防洪堤高h为多少米？
（2）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？

21. 难度：中等

已知函数f（x）=，其中，=（cosωx-sinωx，2sinωx），其中ω＞0，若f（x）相邻两对称轴间的距离不小于．
（Ⅰ）求ω的取值范围；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，a=，b+c=3，当ω最大时，f（A）=1，求△ABC的面积．

22. 难度：中等

已知函数f（x）=lnx-；
（I）若a＞0，试判断f（x）在定义域内的单调性；
（II）若f（x）在[1，e]上的最小值为，求a的值；
（III）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范围．