Question

设有两个命题：P：指数函数y=（c²-5c+7）^x在R上单调递增；Q：不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集为R，如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围．

Answer

由指数函数y=（c2-5c+7）x在R上单调递增，知c2-5c+7＞1，解得P：c＜2或c＞3；由不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集为R，得|2c-1|＞1，解得Q：c＜0或c＞1．于是¬P：2≤c≤3，¬Q：0≤c≤1．由此能求出c的取值范围．
【解析】
∵指数函数y=（c2-5c+7）x在R上单调递增，
∴c2-5c+7＞1，
解得c＜2或c＞3，
即P：c＜2或c＞3 …．（3分）
∵不等式|x-1|+|x-2c|＞1的解集为R，
∴|2c-1|＞1，
解得c＜0或c＞1，
即Q：c＜0或c＞1 …（6分）
于是¬P：2≤c≤3，¬Q：0≤c≤1…．（8分）
若P正确且Q不正确，则c∈[0，1]…（10分）
若P不正确且Q正确，则c∈[2，3]
所以c的取值范围是[0，1]∪[2，3]…（12分）