2012-2013学年安徽省黄山市七校高三（上）联考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知复数z满足，其中i为虚数单位，则复数z的虚部是（ ）
A．
B．
C．
D．

2. 难度：中等

已知tanθ=2，则=（ ）
A．-2
B．2
C．0
D．

3. 难度：中等

设集合M={x|x²-2x-3＜0}，，则M∩N等于（ ）
A．（-1，1）
B．（1，3）
C．（0，1）
D．（-1，0）

4. 难度：中等

已知直线l是抛物线y=x²的一条切线，且l与直线2x-y+4=0平行，则直线l的方程是（ ）
A．2x-y+3=0
B．2x-y-3=0
C．2x-y+1=0
D．2x-y-1=0

5. 难度：中等

已知双曲线的方程为（a＞0，b＞0），双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为（c为双曲线的半焦距长），则双曲线的离心率为（ ）
A．
B．
C．
D．

6. 难度：中等

如图是某种商品前三个季度在甲、乙两地的月销售数量的茎叶图，则在甲、乙两地的月销售数量的中位数之和是（ ）

A．65
B．64
C．63
D．62

7. 难度：中等

已知二项式的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x项的系数是（ ）
A．5
B．20
C．10
D．40

8. 难度：中等

由曲线y=x²+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

现有一种密码，它是由3个a，2个b，1个c和1个d组成的七位代码，则这种密码的个数是（ ）
A．120
B．240
C．360
D．420

10. 难度：中等

给出以下命题：
（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函数在区间上是单调减函数；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件．
其中是真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

二、填空题

11. 难度：中等

已知某几何体的三视图如图所示，这个几何体的外接球的体积为    ．

12. 难度：中等

已知实数x，y满足，则此不等式组表示的平面区域的面积为    ．

13. 难度：中等

在极坐标系中，点到直线的距离为     ．

14. 难度：中等

在执行程序框图时，如果输入N=4，则输出S=    ．

15. 难度：中等

如图，在等腰直角△ABC中，点D是斜边BC的中点，过点D的直线分别交AB，AC于点M，N，若，其中x＞0，y＞0，则2x+4y的最小值是    ．

三、解答题

16. 难度：中等

已知函数．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；
（Ⅱ）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，b=1，c=2，求△ABC的面积．

17. 难度：中等

已知从A地去B地有两条路可走，并且汽车走路①堵车的概率为；汽车走路②堵车的概率为p．若现在有两辆汽车走路①，有一辆汽车走路②，且这三辆车是否堵车相互之间没有影响．
（Ⅰ）若这三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为，求走公路②堵车的概率；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求这三辆汽车中被堵车辆的辆数ξ的分布列和数学期望．

18. 难度：中等

已知在四棱锥P-ABCD中，侧面PAB⊥底面ABCD，O为AB中点，AD∥BC，AB⊥BC，PA=PB=BC=AB=2，AD=3．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面POC；
（Ⅱ）求二面角O-PD-C的余弦值．

19. 难度：中等

已知函数．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）设函数，试比较f（x）与g（x）的大小．

20. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：．

21. 难度：中等

已知椭圆G的中心是原点O，对称轴是坐标轴，抛物线的焦点是G的一个焦点，且离心率．
（I）求椭圆G的方程；
（II）已知圆M的方程是x²+y²=R²（1＜R＜2），设直线l与圆M和椭圆G都相切，且切点分别为A，B．求当R为何值时，|AB|取得最大值？并求出最大值．