Question

已知函数．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（II）设函数，试比较f（x）与g（x）的大小．

Answer

（I）求导函数，利用导数的正负，可得函数f（x）的单调性；
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x），确定其正负，可得结论．
【解析】
（I）函数f（x）的定义域为R，f'（x）=（ex-1-1）（x2+2x）=x（x+2）（ex-1-1）
令f'（x）=0，可得ex-1-1=0或x2+2x=0，即x1=-2，x2=0，x3=1
列表如下：

x （-∞，-2） （-2，0） （0，1） （1，+∞）
f'（x） - + - +
f（x） ↓ ↑ ↓ ↑

由上表可知函数f（x）在区间（-2，0）和（1，+∞）上是单调递增函数；在区间（-∞，-2）和（0，1）上是单调递减函数．…（6分）
（II）设函数h（x）=f（x）-g（x）=x2ex-1-x3=x2（ex-1-x），
又设函数ϕ（x）=ex-1-x，x∈R，则ϕ'（x）=ex-1-1，
所以当x∈（-∞，1）时，ϕ'（x）＜0，此时ϕ（x）为减函数；
当x∈（1，+∞）时，ϕ'（x）＞0，此时ϕ（x）为增函数，
因而ϕ（x）≥ϕ（1）=0恒成立（等号仅当x=1处取得）
综上，当x=0或1时，h（x）=0，即f（x）=g（x）；
当x≠0，且x≠1时，h（x）＞0，即f（x）＞g（x）．…（12分）