Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，首项a₁=1，且对于任意n∈N₊都有na_n+1=2S_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设，且数列{b_n}的前n项之和为T_n，求证：．

Answer

（Ⅰ）法一：由nan+1=2Sn，得当n≥2时，（n-1）an=2Sn-1，所以nan+1-（n-1）an=2（Sn-Sn-1）=2an，故nan+1=（n+1）an，由此能求出an．
法二：由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1-Sn，得nSn+1=（n+2）Sn，故，由此能求出an．
（Ⅱ）依题意得，由此能够证明．
【解析】
（Ⅰ）解法一：由nan+1=2Sn①
得当n≥2时，（n-1）an=2Sn-1②，
由①-②可得，nan+1-（n-1）an=2（Sn-Sn-1）=2an，
所以nan+1=（n+1）an，
即当n≥2时，，
所以，
将上面各式两边分别相乘得，，
即（n≥3），
又a2=2S1=2a1=2，所以an=n（n≥3），
此结果也满足a1，a2，
故an=n对任意n∈N+都成立．…（7分）
解法二：由nan+1=2Sn及an+1=Sn+1-Sn，
得nSn+1=（n+2）Sn，
即，
∴当n≥2时，（此式也适合S1），
∴对任意正整数n均有，
∴当n≥2时，an=Sn-Sn-1=n（此式也适合a1），
故an=n．…（7分）
（Ⅱ）依题意可得

∴．…（13分）