Question

给出以下命题：
（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1；
（2）函数在区间上是单调减函数；
（3）“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
（4）在△ABC中，“A＞B”是“sinA＞sinB”的必要不充分条件．
其中是真命题的个数是（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4

Answer

（1）令x=，举出正例可证明一个存在性命题为真
（2）求出函数的导函数，分析导函数在指定区间上的符号，进而分析出其单调性
（3）分别判断“x＞1”⇒“|x|＞1”和“|x|＞1”⇒“x＞1”的真假，进而根据充要条件的定义可以判断
（4）根据正弦定理及三角形大边对大角，可判断△ABC中，“A＞B”与“sinA＞sinB”的充要关系
【解析】
当x=时，sinx+cosx=＞1，故（1）∃x∈R，使得sinx+cosx＞1正确；
∵，∴=，
当x∈时，∵cosx＞0，x-tanx＜0，x2＞0，
∴f'（x）＜0，故f（x）在区间上单调递减，故（2）正确．
当“x＞1”时是“|x|＞1”成立，但“|x|＞1”时，“x＞1或x＜-1”，故“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件；
在△ABC中，“A＞B”⇔“a＞b”⇔“sinA•2R＞sinB•2R”（其中R为三角形外接圆半径）⇔“sinA＞sinB”，故A＞B”是“sinA＞sinB”的充要条件，故（4）错误
故选C