2012-2013学年安徽省铜陵一中高二（上）10月月考数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

下面几何体为正多面体的是（ ）
A．长方体
B．正三棱柱
C．正四棱柱
D．棱长均相等的四面体

2. 难度：中等

设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m∥α，α∩β=n，则m∥n
D．若m⊥α，m⊂β，则α⊥β

3. 难度：中等

若P是等边三角形ABC所在平面外一点，PA=PB=PC=，△ABC的边长为1，则PC和平面ABC所成的角是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

4. 难度：中等

在正三棱锥P-ABC中，D，E分别是AB，BC的中点，有下列三个论断：
①AC⊥PB；
②AC∥平面PDE；
③AB⊥平面PDE．
其中正确论断的个数为（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

5. 难度：中等

四面体ABCD中，已知AB=3cm，S_△ABC=15cm²，，面ABC与ABD所成的二面角为30°，则四面体的体积为（ ）
A．20cm³
B．10
C．20
D．30cm³

6. 难度：中等

已知P是正方形EFGH所在平面外一点，且PE⊥面EFGH，则面PEF（ ）
A．与面PFG、面PEH都垂直
B．与面PFG、面PEH都相交，但不垂直
C．与面PFG垂直，与面PEH相交但不垂直
D．与面PEH垂直，与面PFG相交但不垂直

7. 难度：中等

一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为（ ）
A．
B．
C．20cm
D．10cm

8. 难度：中等

如图，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AA₁，则AC₁与平面BB₁C₁C所成的角的正弦值为（ ）

A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

已知P为平面a外一点，直线l⊂a，点Q∈l，记点P到平面a的距离为a，点P到直线l的距离为b，点P、Q之间的距离为c，则（ ）
A．a≤c≤b
B．c≤a≤b
C．a≤b≤c
D．b≤c≤a

10. 难度：中等

如图所示，在单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的面对角线A₁B上存在一点P使得AP+D₁P取得最小值，则此最小值为（ ）

A．2
B．
C．2+
D．

二、填空题

11. 难度：中等

水平桌面α上放有4个半径均为2R的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是     ．

12. 难度：中等

正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的侧棱AA₁、BB₁上分别有M、N两点，使2A₁M=A₁B₁，B₁N=AB，则截面C₁MN与上底面A₁B₁C₁所成角的大小    ．

13. 难度：中等

已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC=BC=6，AB=4，则球的半径等于    ，球的表面积等于    ．

14. 难度：中等

正方体A₁C中，E，F分别是棱B₁C₁，C₁D₁的中点，则正方体被截面BEFD分成大小两部分的体积之比V₁：V₂=    ．

15. 难度：中等

在直二面角α-β-l中，A∈α，B∈β，AB与α所成角为x，AB与β所成角为y，AB与l所成的角为z，则cos²x+cos²y+sin²z=    ．

三、解答题

16. 难度：中等

斜三棱柱ABC-A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为 b，侧棱AA′与底面相邻两边AB、AC都成45°角，求此三棱柱的侧面积和体积．

17. 难度：中等

如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F分别为DD₁、DB的中点．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC₁D₁；
（Ⅱ）求证：EF⊥B₁C．

18. 难度：中等

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥侧面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=
（1）求证：C₁B⊥平面ABC；
（2）试在棱CC₁（不包含端点C，C₁）上确定一点E的位置，使得EA⊥EB₁．

19. 难度：中等

如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为a的正方形，PD=DC，E、F分别是AB、PB的中点．
（1）求证EF⊥CD
（2）求点B到平面DEF的距离．
（3）求二面角B-DF-E的大小．

20. 难度：中等

如图，α和β为平面，α∩β=l，A∈α，B∈β，AB=5，A，B在棱l上的射影分别为A′，B′，AA′=3，BB′=2．若二面角α-l-β的大小为，求：
（Ⅰ）点B到平面α的距离；
（Ⅱ）异面直线l与AB所成的角（用反三角函数表示）．

21. 难度：中等

如图，矩形ABCD与ADQP所在平面垂直，将矩形ADQP沿PD对折，使得翻折后点Q落在BC上，设AB=1，PA=x，AD=y．

（Ⅰ）试求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）当y取最小值时，指出点Q的位置，并求出此时直线AD与平面PDQ所成的角；
（Ⅲ）在条件（Ⅱ）下，求三棱锥P-ADQ的内切球的半径．