2011-2012学年江苏省扬州中学高三（上）12月月考数学试卷（解析版）

一、填空题

1. 难度：中等

已知集合A={0，2}，B={1，a²}，若A∪B={0，1，2，4}，则实数a=    ．

2. 难度：中等

经过点（2，-1），与向量垂直的直线方程是    ．

3. 难度：中等

已知复数z满足：z²=i，（i是虚数单位），则z=    ．

4. 难度：中等

已知向量，若A、B、C三点共线，则实数m=    ．

5. 难度：中等

函数f（x）=sinx（sinx-cosx）的周期T=    ．

6. 难度：中等

已知点P（a，b）（a＞b＞0）与椭圆的两个焦点F₁，F₂构成等腰三角形，则椭圆的离心率e=    ．

7. 难度：中等

设α，β为两个不重合的平面，m、n、l是不重合的直线，给出下列命题，其中正确的序号是   
①若m⊥n，m⊥α，则n∥α；
②若n⊂α，m⊂β，α，β相交不垂直，则n与m不垂直；
③若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，m⊥n，则n⊥β；
④m是平面α的斜线，n是m在平面α内的射影，若l⊥n，则l⊥m．

8. 难度：中等

设点P是曲线y=x²-lnx上的任意一点，则点P到直线y=x-1的最小距离为    ．

9. 难度：中等

在△ABC中，，则角B=    ．

10. 难度：中等

通项公式为a_n=an²+n的数列{a_n}，若满足a₁＜a₂＜a₃＜a₄＜a₅，且a_n＞a_n+1对n≥8恒成立，则实数a的取值范围是    ．

11. 难度：中等

把形如M=mⁿ（m，n∈N^*）的正整数表示成各项都是整数，公差为2的等差数列前n项的和，称作“对M的m项分划”，例如：9=3²=1+3+5称作“对9的3项分划”；64=4³=13+15+17+19称作“对64的4项分划”，据此对324的18项分划中最大的数是     ．

12. 难度：中等

设，则f（1）+f（2）+…+f（n）+f₁（1）+f₂（1）+…+f_n（1）=    ．

13. 难度：中等

在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=2，D是△ABC内切圆圆心，设P是⊙D外的三角形ABC区域内的动点，若，则点（λ，μ）所在区域的面积为    ．

14. 难度：中等

若存在实常数k和b，使函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx，则可推知h（x），φ（x）的“隔离直线”方程为    ．

二、解答题

15. 难度：中等

在平面直角坐标系中，点在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且．
（1）求cos2θ；
（2）求sin（α+β）的值．

16. 难度：中等

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

17. 难度：中等

已知三次函数f（x）的最高次项系数为a，三个零点分别为-1，0，3．
（1）若方程有两个相等的实根，求a的值；
（2）若函数λ（x）=f（x）+2x²在区间内单调递减，求a的取值范围．

18. 难度：中等

在△ABC中，三边a，b，c满足：a²-a-2b-2c=0，a+2b-2c+3=0．
（1）探求△ABC的最长边；
（2）求△ABC的最大角．

19. 难度：中等

一束光线从点A（-1，0）出发，经过直线l：2x-y+3=0上的一点D反射后，经过点B（1，0）．
（1）求以A，B为焦点且经过点D的椭圆C的方程；
（2）过点B（1，0）作直线l交椭圆C于P、Q两点，以AP、AQ为邻边作平行四边形APRQ，求对角线AR长度的取值范围．

20. 难度：中等

对于数列{λ_n}，若存在常数M＞0，对任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1-λ_n|+|λ_n-λ_n-1|+…+|λ₂-λ₁|≤M，则称数列{λ_n}为∂-数列．
求证：
（1）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若{S_n}是∂-数列，则{a_n}也是∂-数列．
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是∂-数列，则{a_nb_n}也是∂-数列．

21. 难度：中等

将曲线xy=1绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，求所得曲线的方程．

22. 难度：中等

[选做题]已知圆C的极坐标方程是ρ=4cosθ，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是（t是参数）．若直线l与圆C相切，求实数m的值．

23. 难度：中等

甲、乙等五名深圳大运会志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（Ⅱ）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．

24. 难度：中等

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：≥-n．