Question

（1）设函数f（x）=xlnx+（1-x）ln（1-x）（0＜x＜1），求f（x）的最小值；
（2）设正数满足=1，求证：≥-n．

Answer

（1）先求导函数，进而得导数为0的点，根据函数的定义域确定函数的单调性，从而可确定函数f（x）的最小值；
 （2）利用数学归纳法进行证明，关键是第二步的证明：假定当n=k时命题成立，即若正数，则．
再证明 n=k+1时，需利用归纳假设，从而得证．
（1）【解析】
对函数f（x）求导数：f'（x）=（xlnx）'+[（1-x）ln（1-x）]'=lnx-ln（1-x）．于是．
当在区间是减函数，
当在区间是增函数．
所以时取得最小值，，
（2）用数学归纳法证明．
（i）当n=1时，由（1）知命题成立．
（ii）假定当n=k时命题成立，即若正数，
则．
当n=k+1时，若正数，
令．
则为正数，且．
由归纳假定知．+lnx）≥x（-k）+xlnx，①
同理，由可得≥（1-x）（-k）+（1-x）n（1-x）．②
综合①、②两式≥[x+（1-x）]（-k）+xlnx+（1-x）ln（1-x）
≥-（k+1）．
即当n=k+1时命题也成立．
根据（i）、（ii）可知对一切正整数n命题成立．