Question

对于数列{λ_n}，若存在常数M＞0，对任意n∈N⁺，恒有|λ_n+1-λ_n|+|λ_n-λ_n-1|+…+|λ₂-λ₁|≤M，则称数列{λ_n}为∂-数列．
求证：
（1）设S_n是数列{a_n}的前n项和，若{S_n}是∂-数列，则{a_n}也是∂-数列．
（2）若数列{a_n}，{b_n}都是∂-数列，则{a_nb_n}也是∂-数列．

Answer

（1）根据{Sn}为∂-数列，可得存在M＞0，使|an|+|an-1|+…+|a2|≤M，利用|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤|an|+2|an-1|+…+2|a2|+|a1|≤2M+|a1|，即可证得结论．
（2）利用数列{an}{bn}都是∂-数列，可得不等式，从而可以证明|ai|＜|a1|+M=M1，|bi|＜|b1|+M'=M1'，进而可证得结论．
证明：（1）∵{Sn}为∂-数列，∴存在M＞0，使|Sn+1-Sn|+|Sn-Sn-1|+…+|S2-S1|≤M
∴|an|+|an-1|+…+|a2|≤M，
又|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤|an|+2|an-1|+…+2|a2|+|a1|≤2M+|a1|．
∴{an}也是∂-数列．
（2）∵数列{an}{bn}都是∂-数列，∴存在M，M'使得：|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|≤M，对任意n∈N都成立．
考虑|ai+1bi+1-aibi|=|ai+1（bi+1-bi）+bi（ai+1-ai）|≤|ai+1||bi+1-bi|+|bi||ai+1-ai||ai-a1|
=|（ai-ai-1）+（ai-1-ai-2）+…+（a2-a1）|≤|ai-ai-1|+|ai-1-ai-2|+…+|a2-a1|＜M
∴|ai|＜|a1|+M=M1
同理，|bi|＜|b1|+M'=M1'
∴
∴{anbn}也是∂-数列．