Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥BC，∠A₁AC=60°，．
（1）求证：平面A₁BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）如果D为AB中点，求证：BC₁∥平面A₁CD．

Answer

（1）要证平面A1BC⊥平面ACC1A1，只需证明平面A1BC内的直线BC，垂直平面ACC1A1内的两条相交直线A1A、A1C即可；
（2）D为AB中点，连接AC1交A1C于O，连接OD，要证BC1∥平面A1CD，只需证明BC1，平行平面A1CD内的直线OD即可．
证明：（1）因为∠A1AC=60°，A1A=AC=1，
所以△A1AC为等边三角形，所以A1C=1，
因为BC=1，A1B=，所以A1C2+BC2=A1B2
所以∠A1CB=90°，即 A1C⊥BC
因为BC⊥A1A，BC⊥A1C，A1A⊂平面ACC1A1，
A1C⊂平面ACC1A1，A1A∩A1C=A1，
所以BC⊥平面ACC1A1，
因为BC⊂平面A1BC
所以平面A1BC⊥平面ACC1A1
（2）连接AC1交A1C于O，连接OD
因为ACC1A1为平行四边形，所以O为AC1的中点
因为D为AB的中点，所以OD∥BC1
因为OD⊂平面A1CD，BC1在平面A1CD外
所以BC1∥平面A1CD．