Question

若存在实常数k和b，使函数f（x）和g（x）对其定义域上的任意实数x恒有：f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为f（x）和g（x）的“隔离直线”．已知h（x）=x²，φ（x）=2elnx，则可推知h（x），φ（x）的“隔离直线”方程为    ．

Answer

存在f（x）和g（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k．则隔离直线，构造函数，求出函数函数的导数，根据导数求出函数的最值
【解析】
令F（x）=h（x）-φ（x）=x2-2elnx（x＞0），再令F′（X）=2x-=0，解得 x=．
从而函数h（x）和φ（x）的图象在x=处有公共点．
因此存在h（x）和φ（x）的隔离直线，那么该直线过这个公共点，设隔离直线的斜率为k，则
隔离直线方程为y-e=k（x-），即y=kx-k +e．
由h（x）≥kx-k +e可得 x2-kx+k -e≥0当x∈R恒成立，
则△=k2-4k+4e=≤0，只有k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 x-e．
同理证明，由φ（x ）≤kx-k +e，可得只有k=2 时，等号成立，此时直线方程为：y=2 x-e．
综上可得，函数f（x）和g（x）存在唯一的隔离直线y=2 x-e．