2011-2012学年江西省教育学院附中高三（上）11月月考数学试卷（理科）（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

已知（a+i）（1-i）=b，则实数a，b分别为（ ）
A．a=-1，b=1
B．a=-1，b=2
C．a=1，b=1
D．a=1，b=2

2. 难度：中等

若集合，则A∩B=（ ）
A．{x|-1≤x＜0}
B．{x|0＜x≤1}
C．{x|0≤x≤2}
D．{x|0≤x≤1}

3. 难度：中等

若f（x）=x²-2x-4lnx，则f′（x）＞0的解集为（ ）
A．（0，+∞）
B．（-1，0）∪（2，+∞）
C．（2，+∞）
D．（-1，0）

4. 难度：中等

等比数列{a_n}中，a₁=2，a₈=4，函数f（x）=x（x-a₁）（x-a₂）…（x-a₈），则f′（0）=（ ）
A．2⁶
B．2⁹
C．2¹²
D．2¹⁵

5. 难度：中等

已知数列{a_n}的前n项和s_n满足：s_n+s_m=s_n+m，且a₁=1，那么a₁₀=（ ）
A．1
B．9
C．10
D．55

6. 难度：中等

观察下列各式：7²=49，7³=343，7⁴=2401，…，则7²⁰¹¹的末两位数字为（ ）
A．01
B．43
C．07
D．49

7. 难度：中等

如图，M是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱DD₁的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B₁C₁都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B₁C₁都平行．
其中真命题是（ ）

A．②③④
B．①③④
C．①②④
D．①②③

8. 难度：中等

若曲线C₁：x²+y²-2x=0与曲线C₂：y（y-mx-m）=0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（-，）
B．（-，0）∪（0，）
C．[-，]
D．（-∞，-）∪（，+∞）

9. 难度：中等

有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是P（0＜P＜1），假设每位同学能否通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过测试的概率为（ ）
A．（1-P）ⁿ
B．1-Pⁿ
C．Pⁿ
D．1-（1-P）ⁿ

10. 难度：中等

给出下列三个命题：
①函数与是同一函数；
②若函数y=f（x）与y=g（x）的图象关于直线y=x对称，则函数y=f（2x）与的图象也关于直线y=x对称；
③若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数．
其中真命题是（ ）
A．①②
B．①③
C．②③
D．②

二、填空题

11. 难度：中等

已知==2，•=-2，则与的夹角为    ．

12. 难度：中等

小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为    ．

13. 难度：中等

如图，在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＞OB＞OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S₁，S₂，S₃，则S₁，S₂，S₃的大小关系为    ．

14. 难度：中等

若椭圆的中点在坐标原点，焦点在x轴上．过点作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的面积为    ．

15. 难度：中等

（1）在极坐标系中，曲线C₁的方程为ρ=2cosθ，曲线C₂的方程为ρcosθ=2，则C₁与C₂的交点个数为    ．
（2）对于实数x，y，若|x-1|≤1，|y-1|≤1，则使得|x-2y+1|-m-1≤0恒成立的实数m的最小值为    ．

三、解答题

16. 难度：中等

在△ABC中，角A，B，C的对边是a，b，c，已知3acosA=ccosB+bcosC
（1）求cosA的值
（2）若a=1，，求边c的值．

17. 难度：中等

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）当时，若f（x）在（0，m]上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

18. 难度：中等

如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE．

19. 难度：中等

某迷宫有三个通道，进入迷宫的每个人都要经过一扇智能门．首次到达此门，系统会随机（即等可能）为你打开一个通道，若是1号通道，则需要1小时走出迷宫；若是2号、3号通道，则分别需要2小时、3小时返回智能门．再次到达智能门时，系统会随机打开一个你未到过的通道，直至走完迷宫为止．令ξ表示走出迷宫所需的时间．
（1）求ξ的分布列；
（2）求ξ的数学期望．

20. 难度：中等

已知两个等比数列{a_n}，{b_n}，满足a₁=a（a＞0），b₁-a₁=1，b₂-a₂=2，b₃-a₃=3．
（1）若a=1，求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}唯一，求a的值．

21. 难度：中等

已知抛物线C₁：x²+by=b²经过椭圆C₂：+=1（a＞b＞0）的两个焦点．
（1）求椭圆C₂的离心率；
（2）设Q（3，b），又M，N为C₁与C₂不在y轴上的两个交点，若△QMN的重心在抛物线C₁上，求C₁和C₂的方程．