Question

若椭圆的中点在坐标原点，焦点在x轴上．过点作圆x²+y²=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的面积为    ．

Answer

先假设切点，利用条件求得切点坐标，从而可得直线AB的方程，利用直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，可求椭圆的方程，进而可求椭圆的面积．
【解析】
设点作圆x2+y2=1的切线的切点为（x，y）
过切点的半径的斜率为，切线的斜率为
∴
 整理得x+y=x2+y2
∵x2+y2=1
∴x+y=1
即y=-2x+2
代入圆的方程得x2+（-2x+2）2=1
∴5x2-8x+3=0
解得x=1或x=
∴y=0或y=
∴A（1，0），B（，）
由两点式求得AB的方程为y=-2x+2
把椭圆上顶点坐标（0，b）代入直线方程得b=2，b2=4
把椭圆右焦点坐标（c，0）代入直线方程得c=1
∴a2=22+12=5
∴椭圆方程为
∴椭圆的面积为 =
故答案为：