Question

设函数f（x）=lnx+ln（2-x）+ax（a＞0）
（1）当时，若f（x）在（0，m]上是单调函数，求m的取值范围；
（2）若f（x）在（0，1]上的最大值为，求a的值．

Answer

（1）先利用定积分求出a=1，f′（x）=-+1，求解f（x）的单调区间，只需令f′（x）＞0解出单调增区间，令f′（x）＜0解出单调减区间，从而得出m的取值范围．
（2）函数在区间（0，1]上的最值问题，利用导数研究其单调性，结合极值点和端点的比较得到其最值，即可确定待定量a的值．
【解析】
对函数求导得：，定义域为（0，2）
（1）由于==1
当a=1时，f′（x）=-+1，
当f′（x）＞0，即0＜x＜时，f（x）为增函数；当f′（x）＜0，＜x＜2时，f（x）为减函数．
所以f（x）的单调增区间为（0，），单调减区间为（，2），
若f（x）在（0，m]上是单调函数，则m．
∴m的取值范围：0＜m．
（2）当x∈（0，1]时，＞0，
得（0，1]为单调递增区间．
从而最大值在右端点取到．
所以a=．