2009-2010学年四川省雅安市中学高二（下）期中数学试卷（解析版）

一、选择题

1. 难度：中等

若l为一条直线，α、β、γ为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：
①α⊥γ，β⊥γ⇒α⊥β；
②α⊥γ，β∥γ⇒α⊥β；
③l∥α，l⊥β⇒α⊥β．
其中正确的命题有（ ）
A．0个
B．1个
C．2个
D．3个

2. 难度：中等

关于直线a、b，以及平面M、N，给出下列命题：
①若a∥M，b∥M，则a∥b；
②若a∥M，b⊥M，则a⊥b；
③若a∥b，b∥M，则a∥M；
④若a⊥M，a∥N，则M⊥N．
其中正确命题的个数为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3

3. 难度：中等

圆x²+（y+1）²=3绕直线kx-y-1=0旋转一周所得的几何体的体积为（ ）
A．36π
B．12π
C．4π
D．4π

4. 难度：中等

长方体三个面的面积分别为2、6和9，则长方体的体积是（ ）
A．6
B．3
C．11
D．12

5. 难度：中等

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，若E是AD的中点，则直线A₁B与直线C₁E的位置关系是（ ）

A．平行
B．相交
C．共面
D．垂直

6. 难度：中等

给定下列四个命题：
①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中，为真命题的是（ ）
A．①和②
B．②和③
C．③和④
D．②和④

7. 难度：中等

已知两条不同直线l₁和l₂及平面α，则直线l₁∥l₂的一个充分条件是（ ）
A．l₁∥α且l₂∥α
B．l₁⊥α且l₂⊥α
C．l₁∥α且l₂⊄α
D．l₁∥α且l₂⊂α

8. 难度：中等

若a⊥平面α，b与a所成角的余弦为，则b与平面α所成角的正弦为（ ）
A．
B．
C．
D．

9. 难度：中等

如图，点P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）

A．30°
B．45°
C．60°
D．90°

10. 难度：中等

已知长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=3，BC=2，BB₁=1，BD₁与平面AC所成的角为，则cosθ的值是（ ）

A．
B．
C．
D．

11. 难度：中等

如图，在45°的二面角α-l-β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α，β内，且AC⊥AB，∠ABD=45°，AC=AB=BD=1，则CD的长度为（ ）

A．
B．
C．
D．

12. 难度：中等

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面是边长为2的正方形，高为4，则点A₁到截面AB₁D₁的距离是（ ）
A．
B．
C．
D．

二、填空题

13. 难度：中等

如图所示，四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形，AB∥CD，CD=2AB，E为PC的中点，则BE与平面PAD的位置关系为     ．

14. 难度：中等

在四棱锥中，其底面是正方形，一条侧棱垂直于底面，不通过此棱的一个侧面与底面所成的二面角为45°，且最长的侧棱长为15cm，则棱锥的高为    ．

15. 难度：中等

在三棱锥P-ABC中，△ABC是边长为6的等边三角形，PA=PB=PC=，则点P到平面ABC的距离为     ；若P，A，B，C四点在某个球面上，则球的半径为     ．

16. 难度：中等

已知平行六面体ABCD-A₁B₁C₁D₁的AB=5，AD=3，AA₁=7，∠BAD=60°，∠BAA₁=∠DAA₁=90°，则AC₁的长是    ．

三、解答题

17. 难度：中等

在正四棱锥P-ABCD中，PA=2，直线PA与平面ABCD所成的角为60°，求正四棱锥P-ABCD的体积V．

18. 难度：中等

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁分别是棱AD，AA₁的中点．
（1）设F是棱AB的中点，证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）证明：平面D₁AC⊥平面BB₁C₁C．

19. 难度：中等

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA₁=2．
（1）求异面直线B₁C₁与AB所成角的大小；
（2）求B₁C₁与平面A₁BC的距离．

20. 难度：中等

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=1，AC=AA₁=，∠ABC=60°．
（1）证明：AB⊥A₁C；
（2）求二面角A-A₁C-B的余弦值．

21. 难度：中等

已知四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AD=1，AB=2，E、F分别是AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PEC；
（2）求PC与平面ABCD所成角的大小；
（3）求二面角P-EC-D的大小．

22. 难度：中等

如图所示，已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCD；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）若E为BD中点，求二面角B-AD-C的大小．