Question

如图所示，已知矩形ABCD中，AB=，AD=1，将△ABD沿BD折起，使点A在平面BCD内的射影落在DC上．
（1）求证：平面ADC⊥平面BCD；
（2）求点C到平面ABD的距离；
（3）若E为BD中点，求二面角B-AD-C的大小．

Answer

（1）由点A在平面BCD上的射影落在DC上，知平面ACD经过平面BCD的垂线，由此能够证明平面ACD⊥平面BCD．
（2）设点C到平面ABD的距离为d，于是VC-ABD=VD-ABC，由DA⊥平面ABC，知DA是三棱锥D-ABC的高，由VC-ABD=VD-ABC，能求出点C到平面ABD的距离．
（3）由ABCD是矩形，知DA⊥AB，BC⊥DC，由平面ACD⊥平面BCD，知BC⊥平面ACD．故BC⊥DA，BC⊥CA，所以DA⊥平面ABC，从面得到∠BAC是二面角B-AD-C的平面角．由此能求出二面角B-AD-C的大小．
（1）证明：∵点A在平面BCD上的射影落在DC上，
∴平面ACD经过平面BCD的垂线
∴平面ACD⊥平面BCD．
（2）【解析】
设点C到平面ABD的距离为d，
于是VC-ABD=VD-ABC，
∵ABCD是矩形，
∴DA⊥AB，BC⊥DC，
∵平面ACD⊥平面BCD，
∴BC⊥平面ACD．
∵DA⊂平面ACD，CA⊂平面ACD，
∴BC⊥DA，BC⊥CA，
∵AB∩BC=B，
∴DA⊥平面ABC，
∴DA是三棱锥D-ABC的高，
∴由VC-ABD=VD-ABC，
得，
解得，
即点C到平面ABD的距离为．
（3）∵DA⊥平面ABC，
∴AC⊥AD，AB⊥AD，
∴∠BAC是二面角B-AD-C的平面角．
在△ABC中，BC=AD=1，AB=，∠BCA=90°，
∴sin∠BAC==，
∴∠BAC=45°．
故二面角B-AD-C是45°．