三棱锥P-ABC中,△ABC是边长为6的等边三角形,PA=PB=PC=,可得到此三棱锥是正三棱锥其在底面的投影是底面三角形的中心,不妨令此中心点为M,在直角三角形AMP中用勾股定理求点P到平面ABC的距离PM;若P,A,B,C四点在某个球面上,则可令球心为O,可得出OM=PM-r,由于三棱锥O-ABC仍是一正三棱锥,故可在直角三角形OMA中用勾股定理建立关于球的半径r的方程求r.
【解析】
(1)由题意三棱锥P-ABC是正三棱锥,作PM⊥面ABC于M,则M是顶点P在底面上的投影
由正三棱锥的性质知M是底面的中心,
∵△ABC是边长为6的等边三角形,
∴MA=2
又PA=PB=PC=,在直角三角形AMP中,PM==6
故点P到平面ABC的距离为 6
(2)若P,A,B,C四点在某个球面上,由(1)知,此球心必在线段PM上,令球心为O,可知PO=r,则OM=6-r
由于三棱锥O-ABC是一个正三棱锥,且侧棱长为半径r,
又由(1)MA=2
在直角三角形OMA中有OA2=OM2+MA2 即r2=(6-r)2+12
由此解得 r=4
故答案为 6; 4